《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

18. (6分)如图,已知$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$关于某一点成中心对称,只给出了$\triangle ABC$和线段$BC$的对应线段$B'C'$,请你找到对称中心$O$,且补全$\triangle A'B'C'$.

答案：
18.解：如图，点$O$，$\triangle A'B'C'$即为所求.

19. (6分)已知$x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$,求$(x + \frac{1}{x})^{2} + 2(x + \frac{1}{x}) + 2$的值.

答案： 19.解：
∵$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，
∴$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
∴$x+\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$，
∴原式=$(2\sqrt{3})^{2}+2×2\sqrt{3}+2=12 + 4\sqrt{3}+2=14 + 4\sqrt{3}$.

20. (10分)(石家庄期末)嘉嘉准备完成题目“计算:$(■\sqrt{\frac{1}{27}} - \frac{2}{3}\sqrt{18}) - (\frac{4}{3} - 4\sqrt{\frac{1}{2}})$”时,发现系数“■”印刷不清楚.
(1)他把“■”猜成3,请你计算:$(3\sqrt{\frac{1}{27}} - \frac{2}{3}\sqrt{18}) - (\frac{4}{3} - 4\sqrt{\frac{1}{2}})$.
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是几?

答案： 20.解：
(1)原式=$(3×\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2})-(\frac{4}{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{2})=(\frac{1}{\sqrt{3}}-2\sqrt{2})-(\frac{4}{3}-2\sqrt{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}-\frac{4}{3}+2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}-4}{3}$.
(2)设“$\blacksquare$”是$a$，原式=$(a×\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2})-(\frac{4}{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{2})=(\frac{a}{3\sqrt{3}}-2\sqrt{2})-(\frac{4}{3}-2\sqrt{2})=\frac{\sqrt{3}a - 12}{9}$，则
$\frac{\sqrt{3}a - 12}{9}=0$，解得$a = 4\sqrt{3}$，即原题中“$\blacksquare$”是$4\sqrt{3}$.