《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

22. （10分）新课标运算能力（唐山期中）已知$5a+4$的立方根是$-1$，$3a+b-1$的算术平方根是3，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分.
(1)求$a$，$b$，$c$的值.
(2)求$\sqrt{3a+b+2c}$的平方根.

答案： $(1)$求$a$，$b$，$c$的值
- 求$a$的值：
已知$5a + 4$的立方根是$-1$，根据立方根的定义：若$x^3 = y$，则$x$是$y$的立方根，可得$5a + 4 = (-1)^3$，即$5a + 4 = -1$。
解这个方程：
$\begin{aligned}5a&=-1 - 4\\5a&=-5\\a&=-1\end{aligned}$
- 求$b$的值：
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$3$，根据算术平方根的定义：若$x^2 = y(x\geq0)$，则$x$是$y$的算术平方根，可得$3a + b - 1 = 3^2$。
把$a = -1$代入$3a + b - 1 = 9$中，得到$3×(-1)+b - 1 = 9$。
解这个方程：
$\begin{aligned}-3 + b - 1&=9\\b&=9 + 3 + 1\\b&=13\end{aligned}$
- 求$c$的值：
由于$9\lt13\lt16$，则$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$，所以$\sqrt{13}$的整数部分$c = 3$。
综上，$a=-1$，$b = 13$，$c = 3$。
$(2)$求$\sqrt{3a + b + 2c}$的平方根
- 第一步：计算$3a + b + 2c$的值
把$a=-1$，$b = 13$，$c = 3$代入$3a + b + 2c$中，可得：
$3×(-1)+13 + 2×3=-3 + 13 + 6 = 16$。
- 第二步：计算$\sqrt{3a + b + 2c}$的值
因为$3a + b + 2c = 16$，所以$\sqrt{3a + b + 2c}=\sqrt{16}=4$。
- 第三步：求$\sqrt{3a + b + 2c}$的平方根
根据平方根的定义：若$x^2 = y$，则$x$是$y$的平方根，求$4$的平方根，即$\pm\sqrt{4}=\pm2$。
综上，$\sqrt{3a + b + 2c}$的平方根是$\pm2$。

23. (10分)新考向阅读理解据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，他很快便给出了正确答案，众人十分惊讶，忙问计算中的奥妙.请你跟着下面求15625的立方根的步骤试一试.
步骤一：$10^3=1000$，$100^3=1000000$，则15625的立方根是位数；
步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是；
步骤三：画去15625后面的三位“625”得到数15，而$2^3=8$，$3^3=27$，由此可确定15625的立方根十位上的数字是，因此15625的立方根是.
(1)请将上面的解题步骤补充完整.
(2)请用上述方法，直接写出658503的立方根是.

答案：
(1) 两；5；2；25
(2) 87