《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

21. （8分）（石家庄期中）如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 边上一点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$ED$ 的延长线交 $BC$ 的延长线于点 $F$，且 $CD = CF$.
（1）求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形.
（2）当 $\angle F =$________度时，$\triangle ABC$ 是等边三角形.

答案： 21.
(1)证明：$\because CD = CF$，$\therefore \angle F = \angle CDF$. $\because \angle ADE = \angle CDF$，$\therefore \angle F = \angle ADE$. $\because DE \perp AB$，$\therefore \angle F + \angle B = 90°$，$\angle ADE + \angle A = 90°$，$\therefore \angle B = \angle A$，$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.
(2)30

22. （10分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC = BC$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，$BE \perp AB$，点 $D$ 为 $BC$ 上一点，且 $CD = BE$，$AD$，$CE$ 交于点 $P$.
（1）求证：$\triangle ACD \cong \triangle CBE$.
（2）猜想 $\angle APC$ 的度数并说明理由.

答案： 22.
(1)证明：$\because AC = BC$，$\angle ACB = 120°$，$\therefore \angle CAB = \angle CBA = 30°$. $\because BE \perp AB$，$\therefore \angle CBE = 30° + 90° = 120°$，$\therefore \angle ACB = \angle CBE$.在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases} AC = CB \\ \angle ACD = \angle CBE \\ CD = BE \end{cases}$，$\therefore \triangle ACD \cong \triangle CBE$(SAS).
(2)解：$\angle APC = 60°$.理由如下：$\because \triangle ACD \cong \triangle CBE$，$\therefore \angle CAP = \angle PCD$. $\because \angle ACP + \angle PCD = 120°$，$\therefore \angle CAP + \angle ACP = 120°$，$\therefore \angle APC = 180° - 120° = 60°$.

23. （10分）新课标 应用意识 如图，一架梯子 $AB$ 长 25 米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端到墙的距离 $BO$ 为 7 米.
（1）这个梯子的顶端 $A$ 距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）若梯子 $AB$ 的中点为 $E$，梯子在下滑的过程中，$OE$ 的长是否发生变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请直接写出 $OE$ 的长.

答案： 23.解：
(1)由勾股定理，得$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24$(米).
(2)$OA' = OA - AA' = 24 - 4 = 20$(米)，由勾股定理，得$OB' = \sqrt{A'B'^2 - OA'^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15$(米)，$\therefore BB' = OB' - OB = 15 - 7 = 8$(米)，$\therefore$梯子的底端在水平方向滑动了$8$米.
(3)不变.$OE = \frac{25}{2}$米.