《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

16. 新考向规律探究龙龙想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整。
(1)具体运算，发现规律。
式子1：$\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$；
式子2：$\sqrt{2 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{6 - 2}{3}} = \sqrt{4×\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
式子3：$\sqrt{3 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12 - 3}{4}} = \sqrt{9×\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
式子4：________________________。
(2)观察、归纳，得出猜想。
若$n$为正整数，则式子$n$为________________________。

答案： 16.
(1)$\sqrt{4\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{20-4}{5}}=\sqrt{16×\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$
(2)$\sqrt{n\frac{n}{n+1}}=n\sqrt{\frac{1}{n+1}}$

17. (8分)(承德期末)计算。
(1)$(\sqrt{24} + \sqrt{50})÷\sqrt{2}$
(2)$(\sqrt{13} + 2\sqrt{11})(\sqrt{13} - 2\sqrt{11})$

答案： 17.解：
(1)原式=$\frac{\sqrt{24}+\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{12}+\sqrt{25}=2\sqrt{3}+5$.
(2)原式=$13-44=-31$.

18. (10分)(沧州期中)若最简二次根式$\sqrt[3x - 10]{2x + y - 5}$和$\sqrt{x - 3y + 11}$能进行合并。
(1)求$x$，$y$的值。
(2)求$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$的值。

答案： 18.解：
(1)根据题意，得$\begin{cases}3x-10=2\\2x+y-5=x-3y+11\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$
(2)当$x=4,y=3$时，$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.