《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

21. （10分）（唐山期中）已知分式方程$\frac{▲}{x - 3} + \frac{x - 1}{3 - x} = 1$，由于打印问题，有一个数“▲”看不清楚.
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解.
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数.

答案： 21．解：
(1)$\frac{6}{x - 3} + \frac{x - 1}{3 - x} = 1$，方程两边同乘$x - 3$，得$6 - (x - 1) = x - 3$，解得$x = 5$，检验：当$x = 5$时，$x - 3 \neq 0$，所以$x = 5$是原分式方程的解．
(2)设$▲ = m$，$\frac{m}{x - 3} + \frac{x - 1}{3 - x} = 1$，方程两边同乘$x - 3$，得$m - (x - 1) = x - 3$，把$x = 3$代入$m - (x - 1) = x - 3$，得$m - 2 = 0$，解得$m = 2$，
∴原分式方程中“$▲$”代表的数为$2$．

22. （8分）（威海中考）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动. 纪念馆距学校72km，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12min后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达. 已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度.

答案： 22．解：设大型客车的速度为$x$km/h，则小型客车的速度为$1.2x$km/h．根据题意，得$\frac{72}{x} = \frac{72}{1.2x} = \frac{1}{5}$，解得$x = 60$．经检验，$x = 60$是原方程的解．答：大型客车的速度是$60$km/h．

23. （10分）（石家庄期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图.

设每支圆珠笔为$x$元.
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的单价差值算错了，其他都正确. 若每支中性笔比圆珠笔贵$m(0 ＜ m ＜ 6)$元，求出整数$m$的值.

答案： 23．解：
(1)由题意可知每支中性笔为$(x + 1.2)$元．由题意，得$\frac{21}{x + 1.2} = \frac{12}{x}$，解得$x = 1.6$，经检验，$x = 1.6$是原方程的解，此时，圆珠笔的数量为$12 ÷ 1.6 = 7.5$（支），
∵圆珠笔的数量为整数，
∴$x = 1.6$不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了．
(2)由题意可知每支中性笔为$(x + m)$元．由题意，得$\frac{21}{x + m} = \frac{12}{x}$，解得$x = \frac{4m}{3}$．
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，且$0 ＜ m ＜ 6$，
∴整数$m = 3$，
∴$x = 4$，经检验，$x = 4$是原方程的解，且符合题意．答：整数$m$的值为$3$．