《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

典例 5 如图,在$Rt\triangle BAC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,点$D$是$AB$上一点,若$BD = CD = 8$,$\angle B = 15^{\circ}$,则$AC =$.

答案： 5. 4 [解析]
∵BD = CD = 8，
∴∠B = ∠DCB = 15°，
∴∠ADC = ∠B + ∠DCB = 30°.
∵∠A = 90°，
∴$AC = \frac{1}{2}CD = 4.$

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$,$AD \perp AB$交$BC$于点$D$,$BC = 30$,则$BD =$____.

答案： 7. 20 [解析]
∵AD ⊥ AB，
∴∠BAD = 90°.
∵∠B = 30°，
∴BD = 2AD.
∵∠B = ∠C = 30°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 120°，
∴∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 30°，
∴∠C = ∠DAC，
∴AD = DC，
∴BD = 2CD.
∵BC = 30，
∴BD = 20.

典例 6 如图,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,正方形$AEDC$,$BCFG$的面积分别为$25$和$144$,则$AB$的长为()

A.$13$
B.$169$
C.$119$
D.$\sqrt{119}$

答案： 6. A [解析]根据正方形的面积得 AC² = 25，BC² = 144. 在 Rt△ACB 中，AB = √(AC² + BC²) = √(25 + 144) = 13，故选 A.

8. (沧州期末)下列各组数中,能作为直角三角形三边长的是()

A.$1$,$2$,$3$
B.$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$\sqrt{5}$
C.$1$,$1$,$\sqrt{2}$
D.$3$,$5$,$6$

答案： 8. C

9. 如图为某品牌婴儿车的简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC \perp CD$,现测得$AB = CD$$= 60\ cm$,$BC = 30\ cm$,$AD = 90\ cm$,其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90^{\circ}$的零件连接(即$\angle ABD = 90^{\circ}$),通过计算说明该车是否符合安全标准.

答案： 9. 解：在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 BD² = AD² - AB² = 90² - 60² = 4500. 在△BCD 中，BC² + CD² = 30² + 60² = 4500，
∴BC² + CD² = BD²，
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD = 90°，
∴BC ⊥ CD，
∴该车符合安全标准.

典例 7 新考向 开放题 如图,点$E$,$C$在$BF$上,$BE = CF$,$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$,请添加一个条件:____,使$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DFE$.

答案： 7. AC = DE(答案不唯一)

10. 如图,$AB = BC$,$\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$,点$D$是$EF$上一点,$AE \perp EF$于$E$,$CF \perp EF$于$F$,$AE = CF$,求证:$Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle CDF$.

答案： 10. 解：连接 BD.
∵∠BAD = ∠BCD = 90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CBD 中，
$\begin{cases}$
BD = BD \\
AB = CB
$\end{cases}$
∴Rt△ABD ≌ Rt△CBD (HL)，
∴AD = CD.
∵AE ⊥ EF 于 E，CF ⊥ EF 于 F，
∴∠E = ∠F = 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，
$\begin{cases}$
AD = CD \\
AE = CF
$\end{cases}$
∴Rt△ADE ≌ Rt△CDF (HL).

典例 8 (石家庄期末)在$\triangle ABC$中,$AB \neq AC$,求证:$\angle B \neq \angle C$.若用反证法来证明这个结论,可以假设( )

A.$\angle A = \angle B$
B.$AB = BC$
C.$\angle B = \angle C$
D.$\angle A = \angle C$

答案： 8. C

11. (唐山期末)阅读下列文字,回答问题.
题目:在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,若$\angle A \neq 45^{\circ}$,所以$AC \neq BC$.
证明:假设$AC = BC$,$\because \angle A \neq 45^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$\therefore \angle A \neq \angle B$,$\therefore AC \neq BC$,这与假设矛盾,$\therefore AC \neq BC$.
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.

答案： 11. 解：有错误. 改正：假设 AC = BC，则∠A = ∠B. 又
∵∠C = 90°，
∴∠B = ∠A = 45°，这与∠A ≠ 45° 矛盾，
∴AC = BC 不成立，
∴AC ≠ BC.