《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

23. (10分)新课标 应用意识 (廊坊期末)某市拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造,为响应城市建设的需要,需在一个月(30天)内完成工程,现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程,经调查可知,乙工程队单独完成该工程的时间是甲工程队单独完成该工程时间的1.5倍,若甲、乙两工程队合作只需12天完成.
(1)甲、乙两工程队单独完成该工程各需多少天?
(2)若甲工程队每天的工程费用是4万元,乙工程队每天的工程费用是3万元,请你设计一种方案,既能按时完工,又能使工程费用最少.

答案： 23.解：
(1)设甲工程队单独完成该工程需$x$天，则乙工程队单独完成该工程需$1.5x$天.根据题意，得$\frac{12}{x} + \frac{12}{1.5x} = 1$，解得$x = 20$，经检验，$x = 20$是原方程的解，且符合题意，$\therefore 1.5x = 1.5 × 20 = 30$.答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天.
(2)$\because$甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成，$\therefore$有如下三种方案：方案一：甲工程队单独完成，所需费用为$4 × 20 = 80$（万元）；方案二：乙工程队单独完成，所需费用为$3 × 30 = 90$（万元）；方案三：甲、乙两工程队合作完成，所需费用为$(4 + 3) × 12 = 84$（万元）.$\because 90 ＞ 84 ＞ 80$，$\therefore$选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少.

24. (12分)(沧州期中)【问题背景】如图,在$\triangle ABC$中,点$D$为边$AC$上一点,连接$BD$,延长$BD$至点$E$,使得$BE=AC$,连接$CE$.
【问题提出】(1)如图①,若$AC=BC$,$∠A=80^{\circ }$,$∠EBC=44^{\circ }$,求$∠ECD$的度数.
【问题拓展】(2)如图②,$∠ECB$的平分线$CF$交$BE$于点$F$,若$BD=CD$,$∠A=2∠DBC$,在$BC$上取一点$G$,使$CG=CE$,试判断$∠DBC$与$∠GFB$是否相等,并说明理由.

答案： 24.解：
(1)$\because BC = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle A = 80^{\circ}$，$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABC = 20^{\circ}$.$\because AC = BE$，$\angle EBC = 44^{\circ}$，$\therefore BC = BE$，$\therefore \angle E = \angle ECB = \frac{180^{\circ} - \angle EBC}{2} = \frac{180^{\circ} - 44^{\circ}}{2} = 68^{\circ}$，$\therefore \angle ECD = \angle ECB - \angle ACB = 68^{\circ} - 20^{\circ} = 48^{\circ}$.
(2)相等.理由如下：$\because CF$平分$\angle ECB$，$\therefore \angle FCB = \angle ECF$.$\because CG = CE$，$CF = CF$，$\therefore \triangle ECF \cong \triangle GCF(SAS)$，$\therefore \angle E = \angle FGC$.$\because BD = CD$，$BE = AC$，$\therefore AD = ED$.$\because \angle ADB = \angle EDC$，$\therefore \triangle ADB \cong \triangle EDC(SAS)$，$\therefore \angle A = \angle E$，$AB = EC$，$\therefore \angle A = \angle E = \angle FGC$.$\because \angle A = 2\angle DBC$，$\therefore \angle FGC = 2\angle DBC$.又$\because \angle FGC = \angle DBC + \angle GFB$，$\therefore \angle DBC = \angle GFB$.