《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

24. (12分)新考向 探究题(唐山期中)已知在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D,A,E$三点都在直线$m$上，且$DE=9cm$，$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$.
(1)如图①，若$AB\perp AC$，则$BD$与$AE$的数量关系为______，$CE$与$AD$的数量关系为______.
(2)如图②，判断线段$BD,CE$与$DE$的数量关系，并说明理由.
(3)如图③，若只保持$\angle BDA=\angle AEC$，$BD=EF=7cm$，点$A$在线段$DE$上以$2cm/s$的速度由点$D$向点$E$运动，同时，点$C$在线段$EF$上以$xcm/s$的速度由点$E$向点$F$运动，它们运动的时间为$ts$.是否存在$x$，使得$\triangle ABD$与$\triangle EAC$全等？若存在，求出相应$t$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 24.解：
(1)BD=AE CE=AD
(2)DE=BD+CE.理由：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE=∠ABD.
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∴DE=BD+CE.
(3)存在，当△DAB≌△ECA时，BD=AE=7cm，
∴AD=CE=2cm，
∴t=1；当△DAB≌△EAC时，DB=EC=7cm，
∴AD=AE=4.5cm，
∴t=$\frac{AD}{2} = \frac{9}{4}$.综上，t的值为1或$\frac{9}{4}$.