《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

24. (本题16分)【问题回顾】我们知道:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
其证明方法:如图1,在△ABC中,∠B=∠C,作顶角∠BAC的平分线AD,交BC边于点D,利用“AAS”可以证明△ABD≌△ACD,可得AB=AC.其本质是利用了图形的轴对称性.
【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上,提出猜想:在三角形中,大的内角所对的边也大,即“大角对大边”.转化成数学符号语言为:
(1)已知:在△ABC中,∠ACB＞∠B.求证:AB＞AC.
数学兴趣小组学生发现,该命题也可利用轴对称证明.作BC的垂直平分线,交AB于点D,交BC于点E,连接DC(如图2),请你帮助数学兴趣小组完成证明.
【知识应用】
请利用在三角形中,大的内角所对的边也大,即“大角对大边”这一结论完成下列问题:
(2)已知,△ABC中,AC=3,BC=5,且∠C＞∠A＞∠B,则AB边的取值范围为5＜AB＜8.
(3)已知,如图3,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E为AC边上任意一点(不与点A,点C重合),连接BE交AD于点F.求证:BF＞FE.

答案：
24.
(1) 证明：$\because DE$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore BD = CD$.
在$\triangle ACD$中，$AD + CD\gt AC$，
$\therefore AD + BD\gt AC$，
$\therefore AB\gt AC$.
(2) 解：$\because AC = 3$，$BC = 5$，
$\therefore 2\lt AB\lt8$.
$\because \angle C\gt \angle A\gt \angle B$，
$\therefore AB\gt BC\gt AC$，$\therefore AB\gt5\gt3$，
$\therefore 5\lt AB\lt8$；
故答案为：$5\lt AB\lt8$；
(3) 证明：在$AB$上截取$AM = AE$，连接$MF$.
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle MAF=\angle EAF$.
又$\because AF = AF$，
$\therefore \triangle MAF \cong \triangle EAF(SAS)$，
$\therefore MF = EF$，$\angle AMF=\angle AEF$，
$\therefore \angle BMF=\angle BEC$.
$\because \angle BEC\gt \angle ABE$，$\therefore \angle BMF\gt \angle ABE$，$\therefore BF\gt MF$，$\therefore BF\gt EF$.