《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

11. 计算与解方程(每题 5 分,共 10 分)
(1) 计算:$\sqrt{4}-\sqrt[3]{27}+|-1|$；
(2) 解方程:$1+(x-1)^3=-7$.

答案： 11.
(1)$0$
(2)$x=-1$

12. 如图,数轴上有$A、B、C$三点,表示 1 和$\sqrt{2}$的对应点分别为$A、B$,点$B$到点$A$的距离与点$C$到原点$O$的距离相等,设$A、B、C$三点表示的三个数之和为$p$.
(1) 求$AB$的长；
(2) 求$p$；
(3) 点$D$在点$O$的左侧,且$DO=10$,若以点$D$为原点,直接写出点$C$表示的数.

答案： 12.
(1)$\because$表示$1$和$\sqrt{2}$的对应点分别为$A$、$B$，$\therefore AB=\sqrt{2}-1$.
(2)$\because$点$B$到点$A$的距离与点$C$到原点$O$的距离相等，$\therefore OC=AB=\sqrt{2}-1$，$\because$点$C$在原点左侧，$\therefore$点$C$所表示的数为：$0-(\sqrt{2}-1)=1-\sqrt{2}$，$\therefore p=1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=2$.
(3)$\because$点$D$在点$O$的左侧，且$DO=10$，$\therefore$点$D$表示的数为：$-10$，$\therefore$以点$D$为原点，点$C$表示的数为：$1-\sqrt{2}-(-10)=11-\sqrt{2}$.

13. 【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法,即要比较代数式$M、N$的大小,只要作出它们的差$M-N$,若$M-N＞0$,则$M＞N$；若$M-N=0$,则$M=N$.若$M-N＜0$,则$M＜N$.
【解决问题】
(1) 利用作差法比较$\frac{\sqrt{15}-1}{3}$与 1 的大小；
(2) 比较$(b^2+1)a$与$b^2+1$大小.

答案： 13.解：
(1)由题意得，$\frac{\sqrt{15}-1}{3}-1=\frac{\sqrt{15}-4}{3}$.$\because15＜16$，$\therefore\sqrt{15}＜\sqrt{16}=4$.$\therefore\sqrt{15}-4＜0$.$\therefore\frac{\sqrt{15}-1}{3}-1=\frac{\sqrt{15}-4}{3}＜0$.$\therefore\frac{\sqrt{15}-1}{3}＜1$.
(2)由题意得，$(b^{2}+1)a-(b^{2}+1)=(b^{2}+1)(a-1)$.①当$a＜1$时，$\therefore a-1＜0$.又$\because$对于任意的$b$都有$b^{2}+1＞0$，$\therefore(b^{2}+1)(a-1)＜0$.$\therefore(b^{2}+1)a-(b^{2}+1)=(b^{2}+1)(a-1)＜0$.$\therefore(b^{2}+1)a＜b^{2}+1$.②当$a=1$时，$\therefore a-1=0$.$\therefore(b^{2}+1)a-(b^{2}+1)=(b^{2}+1)(a-1)=0$.$\therefore(b^{2}+1)a=b^{2}+1$.③当$a＞1$时，$\therefore a-1＞0$.又$\because$对于任意的$b$都有$b^{2}+1＞0$，$\therefore(b^{2}+1)(a-1)＞0$.$\therefore(b^{2}+1)a-(b^{2}+1)=(b^{2}+1)(a-1)＞0$.$\therefore(b^{2}+1)a＞b^{2}+1$.综上，当$a＜1$时，$(b^{2}+1)a＜b^{2}+1$;当$a=1$时，$(b^{2}+1)a=b^{2}+1$;当$a＞1$时，$(b^{2}+1)a＞b^{2}+1$.