《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

13. (本题8分)如图,AD是$\triangle ABC$的中线,$AB = 20,BC = 24,AD = 16$.求AC的长.
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答案： 13. 20

14. (本题10分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,E为AC上一点,且$AE = BC$,过点A作$AD\perp CA$,垂足为A,且$AD = AC$,AB、DE交于点F.
(1) 判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2) 连接BD、BE,若设$BC = a,AC = b,AB = c$,请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理.
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答案：
14.
(1)AB=DE,AB⊥DE,如图，
∵AD⊥CA,
∴∠DAE=∠ACB=90°.
在△ABC和△DEA中，$\begin{cases}AE=BC,\\∠DAE=∠ACB,\\AD=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEA,
AB=DE,∠3=∠1.
∵∠DAE=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∴∠AFE=90°,
∴AB⊥DE.

(2)S_{四边形ADBE}=S_{△ADE}+S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$DE·AF+$\frac{1}{2}$DE·BF=$\frac{1}{2}$DE·AB=$\frac{1}{2}$c²,
S_{四边形ADBE}=S_{△ABE}+S_{△ABD}=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²,
∴$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$c²,
∴a²+b²=c².

15. (本题8分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长为6 m,8 m,现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩建后的等腰三角形花圃的周长.
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答案：
15. 扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或20+4$\sqrt{5}$m或$\frac{80}{3}$m.