《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

16. [阅读理解题]
定义:如果一个数的平方等于 $-1$,记为 $i^2 = -1$,这个数 $i$ 叫做虚数单位,那么形如 $a + bi$($a$,$b$ 为实数)的数就叫做复数,$a$ 叫做这个复数的实部,$b$ 叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似. 例如:$(2 + i) + (3 - 4i) = (2 + 3) + (1 - 4)i = 5 - 3i$;$i^3 = i \cdot i \cdot i = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$;
$(1 + i)(2 + 3i) = 1 × 2 + 1 \cdot 3i + i \cdot 2 + i \cdot 3i = 2 + 3i + 2i + 3 \cdot i^2 = 2 + 3i + 2i + 3 × (-1) = -1 + 5i$.
(1) 填空:$2i^4 =$ 2,$i^5 =$ i;
(2) 计算:① $(2 + i)(2 - i)$;② $(2 + i^3)^2$;
(3) 若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:
已知:$(x + y) - 3i = (1 - x) - yi$($x$,$y$ 为有理数),求 $x^2 + y$ 的值;
(4) 试一试:请利用以前学习的有关知识将 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 化简成 $a + bi$($a$,$b$ 为有理数)的形式.

答案： 16.
(1)2，i。
(2)①(2 + i)(2 - i)= 4 - i²= 4 - (-1)= 5；②(2 + i³)²；= 4 + 4i³ + (i³)²= 4 + 4i³ + i⁶= 4 - 4i - 1= 3 - 4i。
(3)
∵(x + y) - 3i = (1 - x) - yi(x，y为有理数)，
∴x + y = 1 - x，-y = -3，
∴x = -1，y = 3，
∴x² + y = (-1)² + 3 = 1 + 3 = 4。
(4)$\frac{1 + i}{1 - i}$ = $\frac{(1 + i)²}{(1 - i)(1 + i)}$ = $\frac{1 + 2i + i²}{1 - i²}$ = $\frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)}$ = $\frac{2i}{2}$ = i。