《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

24. （本题15分）我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～约1261）曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$p = \frac{a + b + c}{2}$，那么三角形的面积$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.在$\triangle ABC$中，已知$BC = 4$，$AC = 7.5$，$AB = 8.5$.
（1）如图1，利用秦九韶公式求$\triangle ABC$的面积；
（2）如图2，$\triangle ABC$的两条角平分线$AD$，$BE$交于点$O$，求点$O$到边$AB$的距离.

答案：
24.解：
(1)
∵BC = 4，AC = 7.5，AB = 8.5，
∴p = $\frac{4 + 7.5 + 8.5}{2}$ = 10，
∴S△ABC = $\sqrt{10×(10 - 4)×(10 - 7.5)×(10 - 8.5)}$ = 15。
(2)连接OC，作OF⊥AB于点F，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴点O到△ABC的三边距离相等，长度为OF。设OF = h，则S△ABC = S△ACO + S△BCO + S△ABO =$\frac{1}{2}$AC·h + $\frac{1}{2}$BC·h + $\frac{1}{2}$AB·h = $\frac{1}{2}$×4h + $\frac{1}{2}$×7.5h + $\frac{1}{2}$×8.5h = 15，解得h = 1.5。
∴点O到AB的距离为1.5。