《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

23. （本题15分）在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD$平分$\angle ABC$，交$AC$于点$D$，$BD = AD$.
（1）如图1，求$\angle BAC$的度数；
（2）如图2，$E$是$AB$的中点，连接$ED$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，连接$AF$.求证：$AF = AB + BC$.

答案： 23.
(1)解：设∠ABD = x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC = x°。
∵AB = AC，
∴∠C = ∠ABC = 2x°。又
∵BD = AD，
∴∠A = x°。又
∵∠BDC = ∠A + ∠ABD，即2x° = ∠A + x°，
∴∠BDC = ∠C = 2x°，
∴BD = BC。在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴x + 2x + 2x = 180，解得x = 36，
∴∠A = 36°，
∴∠BAC的度数为36°。
(2)
∵E是AB的中点，BD = AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF = BF，
∴∠FBA = ∠FAB = 72°，
∴∠AFB = ∠FAC = 36°，
∴CA = CF，
∴AB = AC = CF，
∴AF = BF = BC + CF = AB + BC。