《2025年伴你学单元达标测试卷八年级数学上册苏科版》

16. 先观察下列等式,再回答下列问题:
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$.
(1) 请你根据上面三个等式提供的信息,猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$的结果,并验证；
(2) 请你将上面各等式反映的规律用含$n$的等式表示($n$为正整数).

答案： 16.
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1+\frac{1}{20}$.验证：$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}=\sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}}=\sqrt{1+\frac{25}{400}+\frac{16}{400}}=\sqrt{\frac{441}{400}}=1\frac{1}{20}$.
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}(n$为正整数)