《2025年资源库高中数学人教版》

例207 (1)判断下列各式的符号：
①$\sin105^{\circ}\cdot\cos230^{\circ}$；②$\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\tan\frac{7\pi}{8}$；③$\cos6\cdot\tan6$.
(2)若$\sin2\alpha＞0$，且$\cos\alpha＜0$，试确定$\alpha$是第几象限角.

答案：
(1)①负；②负；③负
解析：①$105^{\circ}$是第二象限角，$\sin105^{\circ}＞0$；$230^{\circ}$是第三象限角，$\cos230^{\circ}＜0$，乘积为负。②$\frac{7\pi}{8}$是第二象限角，$\sin\frac{7\pi}{8}＞0$，$\tan\frac{7\pi}{8}＜0$，乘积为负。③$6\ rad$是第四象限角，$\cos6＞0$，$\tan6＜0$，乘积为负。
(2)第三象限角
解析：$\sin2\alpha＞0$得$k\pi＜\alpha＜k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$；$\cos\alpha＜0$得$\alpha$是第二或第三象限角，综上为第三象限角。

例208 已知角$\alpha$的顶点与原点$O$重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边经过点$P(-\sqrt{3},m)$，且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}m}{4}(m\neq0)$，判断角$\alpha$是第几象限角，并求$\tan\alpha$的值.

答案： 第二象限角时$\tan\alpha=-\frac{\sqrt{7}}{3}$；第三象限角时$\tan\alpha=\frac{\sqrt{7}}{3}$
解析：$r=\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + m^2}=\sqrt{3 + m^2}$，$\sin\alpha=\frac{m}{r}=\frac{\sqrt{3}m}{4}$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$。当$m=\frac{\sqrt{21}}{3}$时，$P$在第二象限，$\tan\alpha=\frac{m}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$；当$m=-\frac{\sqrt{21}}{3}$时，$P$在第三象限，$\tan\alpha=\frac{m}{-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$。

例209 求函数$y = \frac{\tan(x+\frac{7\pi}{4})\cdot\sqrt{\sin(2\pi + x)}}{\lg(2\cos x-\cos0)}$的定义域.

答案： $\{x|2k\pi＜x＜\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$
解析：要使函数有意义，需满足$\begin{cases}x+\frac{7\pi}{4}\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\\ \sin x\geq0\\2\cos x - 1＞0\\2\cos x - 1\neq1\end{cases}$，即$\begin{cases}x\neq k\pi-\frac{5\pi}{4}\\2k\pi\leq x\leq\pi + 2k\pi\\-\frac{\pi}{3}+2k\pi＜x＜\frac{\pi}{3}+2k\pi\\x\neq2k\pi\end{cases}$，综上$2k\pi＜x＜\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$。