《2025年资源库高中数学人教版》

例325 已知向量$\boldsymbol{a} = (-2,-1)$,$\boldsymbol{b} = (t,1)$,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

答案： $(-\frac{1}{2},2) \cup (2, +\infty)$
解析：因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，所以$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ＜ 0$且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线。
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -2t - 1 ＜ 0$，解得$t ＞ -\frac{1}{2}$。
若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，则$-2×1 = -1×t$，$t = 2$，所以t的取值范围是$(-\frac{1}{2},2) \cup (2, +\infty)$。

例326 若平面向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60°$,$|\boldsymbol{b}| = 4$,$(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = -72$,则向量$\boldsymbol{a}$的模为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12

答案： C
解析：$(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - 6|\boldsymbol{b}|^2 = -72$。
因为$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60° = 2|\boldsymbol{a}|$，$|\boldsymbol{b}| = 4$，所以$|\boldsymbol{a}|^2 - 2|\boldsymbol{a}| - 6×16 = -72$，即$|\boldsymbol{a}|^2 - 2|\boldsymbol{a}| - 24 = 0$，解得$|\boldsymbol{a}| = 6$。

例327 已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(-2,-2),C(4,2),D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,且DE交AF于点G,求向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{FG}$的坐标.

答案： $\overrightarrow{AB} = (-4,-6)$，$\overrightarrow{BC} = (6,4)$，$\overrightarrow{FG} = (\frac{1}{2},2)$
解析：$\overrightarrow{AB} = (-2 - 2, -2 - 4) = (-4,-6)$，$\overrightarrow{BC} = (4 - (-2),2 - (-2)) = (6,4)$。
F为BC的中点，$F(\frac{-2 + 4}{2},\frac{-2 + 2}{2}) = (1,0)$。
A(2,4)，F(1,0)，G为AF的中点，$G(\frac{2 + 1}{2},\frac{4 + 0}{2}) = (\frac{3}{2},2)$，所以$\overrightarrow{FG} = (\frac{3}{2} - 1,2 - 0) = (\frac{1}{2},2)$。

例328 已知向量$\boldsymbol{a} = (x^2 + y^2,xy)$,$\boldsymbol{b} = (5,-2)$,若$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$,求x,y的值.

答案： $\begin{cases}x = 1 \\ y = -2\end{cases}$或$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$
解析：由$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$得$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\ xy = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = -2\end{cases}$，$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}$，$\begin{cases}x = -2 \\ y = 1\end{cases}$。

例329 若向量$\boldsymbol{a} = (2,1)$,$\boldsymbol{b} = (-1,2)$,$\boldsymbol{c} = (0,\frac{5}{2})$,则$\boldsymbol{c}$可用向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示为( )
A. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$
B. $-\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$
C. $\frac{3}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
D. $\frac{3}{2}\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$

答案： A
解析：设$\boldsymbol{c} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$，则$(0,\frac{5}{2}) = (2x - y,x + 2y)$，所以$\begin{cases}2x - y = 0 \\ x + 2y = \frac{5}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\ y = 1\end{cases}$，故$\boldsymbol{c} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$。

例330 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且$\overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{CB}$,求M,N的坐标.

答案： M(0,20)，N(9,2)
解析：$\overrightarrow{CA} = (-2 - (-3),4 - (-4)) = (1,8)$，$\overrightarrow{CB} = (3 - (-3),-1 - (-4)) = (6,3)$。
$\overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{CA} = (3,24)$，$\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{CB} = (12,6)$。
M：$(-3 + 3,-4 + 24) = (0,20)$；N：$(-3 + 12,-4 + 6) = (9,2)$。