《2025年资源库高中数学人教版》

重难点1 求函数的定义域：当函数$y = f(x)$以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：
（1）$f(x)$为整式型函数时，定义域为$\mathbf{R}$。
（2）$f(x)$为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合。
（3）$f(x)$为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合。
（4）如果函数是一些简单函数通过四则运算而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。
（5）复合函数的定义域：
①函数$f(x),f(g(x))$中的定义域都指$x$的取值范围；
②已知$f(x)$的定义域为$A$，求$f(g(x))$的定义域，其实质是已知$g(x)$的取值范围（值域）为$A$，求$x$的取值范围；
③已知$f(g(x))$的定义域为$B$，求$f(x)$的定义域，其实质是已知$f(g(x))$中的$x$的取值范围为$B$，求出$g(x)$的取值范围（值域），此范围就是$f(x)$的定义域；
④同一对应法则$f$下的范围相同，即$f(t),f(g(x)),f(h(x))$三个函数中的$t,g(x),h(x)$的范围相同。
（6）由实际问题建立的函数，还要使实际问题有意义。

答案： 无具体题目要求解答，为知识点梳理内容。

重难点2 求函数的值域：
（1）中学学习的函数的值域：
①一次函数$f(x)=kx + b$（$k\neq0$）的值域是$\mathbf{R}$。
②反比例函数$f(x)=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的值域是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
③若二次函数$f(x)=ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）的定义域是$\mathbf{R}$，当$a＞0$时，值域是$[f(-\frac{b}{2a}),+\infty)$；当$a＜0$时，值域是$(-\infty,f(-\frac{b}{2a})]$。
（2）求函数值域的常用方法：
①观察法：有的函数的结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出原相应函数的值域。如函数$y=\frac{1}{1 + x^2}$的值域是$\{y|0＜y\leq1\}$。
②配方法：若函数是二次函数形式，即可化为$y=ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）型的函数，则可通过配方结合二次函数的性质求值域，但要注意二次函数在给定区间上最值的求法。如求函数$y=x - 2\sqrt{x} + 3$的值域，因为$y=(\sqrt{x}-1)^2 + 2\geq2$，故所求的值域为$[2,+\infty)$。
③图象法：有些函数的图象比较容易画出，可以通过函数的图象得出函数的值域。
④换元法：运用代数或三角换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原相应函数的值域。形如$y=ax + b\pm\sqrt{cx + d}$（$a,b,c,d$均为常数，$ac\neq0$）的函数常用此法。
⑤分离常数法：形如$y=\frac{cx + d}{ax + b}$（$a\neq0,ad\neq bc$）的函数，经常采用分离常数法，将$\frac{cx + d}{ax + b}$变形为$\frac{\frac{c}{a}(ax + b)+d-\frac{bc}{a}}{ax + b}=\frac{c}{a}+\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax + b}$，再结合$x$的取值范围确定$\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax + b}$的取值范围，从而确定函数的值域。如求函数$y=\frac{2x - 1}{x + 1}$的值域时。

答案： 无具体题目要求解答，为知识点梳理内容。