《2025年资源库高中数学人教版》

例436（多选）下列说法不正确的有（ ）.
A. 以直角三角形的一边为轴旋转一周，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体是圆锥
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C. 将一个矩形（包括其内部）沿竖直方向平移一段距离，经过的轨迹可形成一个长方体
D. 棱台各侧棱的延长线交于一点

答案： ABC
解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可得到圆锥，故A不正确；如图6-1-35，平面ABC与平面A₁B₁C₁平行，且其余各面都是平行四边形，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，故B不正确；当矩形（包括其内部）水平放置时，沿竖直方向平移，其经过的轨迹为一个长方体，当矩形（包括其内部）不是水平放置时，沿竖直方向平移，其经过的轨迹不能得到长方体，故C不正确；棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确.

例437 正四棱锥的高为√3，侧棱长为√7，求斜高.

答案： √5
解析：如图6-1-36，在正四棱锥S-ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接SO，则高SO=√3，侧棱SA=SB=SC=SD=√7.
在Rt△SOA中，OA=√(SA²-SO²)=√((√7)²-(√3)²)=2，
∴AC=2OA=4.
∴AB=BC=CD=DA=2√2.
过点O作OE⊥AB交AB于点E，则E为AB的中点，连接SE，则SE为斜高.
在Rt△SOE中，OE=1/2BC=√2，SO=√3，
∴SE=√(2+3)=√5，即斜高为√5.

例438 圆台的母线长为2a，母线所在直线与轴的夹角为30°，下底面半径是上底面半径的2倍，分别求出两个底面的半径及两底面的面积之和.

答案： 上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa²
解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台补形为圆锥，如图6-1-37，则有∠ASO=30°.
在Rt△SO'A'中，r/S'A'=sin30°，
∴S'A'=2r.
在Rt△SOA中，2r/SA=sin30°，
∴SA=4r.
又
∵SA - S'A'=A'A，即4r - 2r=2a，
∴r=a.
∴两底面面积之和S=πr² + π(2r)²=5πr²=5πa².
∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa².