《2025年资源库高中数学人教版》

典型1 三角形形状的判断
例367 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若$\frac{\sin A}{k}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}$(k为非零实数)，则下列结论错误的是( ).
A. 当k=5时，△ABC是直角三角形
B. 当k=3时，△ABC是锐角三角形
C. 当k=2时，△ABC是钝角三角形
D. 当k=1时，△ABC是钝角三角形

答案： D
解析：对于A，当k=5时，$\frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}$，根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,c=4m,m＞0，显然△ABC是直角三角形，故A正确；
对于B，当k=3时，$\frac{\sin A}{3}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}$，根据正弦定理不妨设a=3n,b=3n,c=4n,n＞0，显然△ABC是等腰三角形，$a^{2}+b^{2}-c^{2}=9n^{2}+9n^{2}-16n^{2}=2n^{2}＞0$，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B正确；
对于C，当k=2时，$\frac{\sin A}{2}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}$，根据正弦定理不妨设a=2p,b=3p,c=4p,p＞0，可得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=4p^{2}+9p^{2}-16p^{2}=-3p^{2}＜0$，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D，当k=1时，$\frac{\sin A}{1}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}$，根据正弦定理不妨设a=q,b=3q,c=4q,q＞0，此时a+b=c，不能构成三角形，故D错误.

典型2 三角形解的情况
例368 在①$A = \frac{\pi}{3},a = \sqrt{3},b = \sqrt{2}$;②$a = 1,b = \sqrt{3},A=\frac{\pi}{6}$;③$a = \sqrt{2},b = \frac{\sqrt{6}}{2},B = \frac{\pi}{3}$这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，______，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形.

答案： 若选择条件①，一解；若选择条件②，两解，当$B = \frac{\pi}{3}$时，$c = 2$；当$B=\frac{2\pi}{3}$时，$c = 1$；若选择条件③，一解
解析：若选择条件①，由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，则$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.又$a=\sqrt{3}＞b = \sqrt{2},A=\frac{\pi}{3}$，
∴$B=\frac{\pi}{4}$，该三角形只有一解.
若选择条件②，由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，则$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.又$b=\sqrt{3}＞a = 1$，
∴$B=\frac{\pi}{3}$或$B=\frac{2\pi}{3}$，该三角形有两解.当$B = \frac{\pi}{3}$时，$C=\frac{\pi}{2}$，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$；当$B=\frac{2\pi}{3}$时，$C = \frac{\pi}{6}$，$c=a = 1$.
若选择条件③，由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，则$\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=1$.
∵$0 ＜ A＜\pi$，
∴$A=\frac{\pi}{2}$，该三角形只有一解.

典型3 利用余弦定理解三角形
出题角度1 已知三角形的三边（或三边关系）解三角形
例369 已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，$a:b:c = 2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1)$，求△ABC的各内角的度数.

答案： $A = 45^{\circ},B = 60^{\circ},C = 75^{\circ}$
解析：由已知$a:b:c=2:\sqrt{6}:(\sqrt{3}+1)$，令$a = 2k,b=\sqrt{6}k,c=(\sqrt{3}+1)k(k＞0)$.由余弦定理，得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{6k^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2}k^{2}-4k^{2}}{2×\sqrt{6}k×(\sqrt{3}+1)k}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$A = 45^{\circ}$.$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{4k^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2}k^{2}-6k^{2}}{2×2k×(\sqrt{3}+1)k}=\frac{1}{2}$，
∴$B = 60^{\circ}$.
∴$C=180^{\circ}-A - B=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.