《2025年资源库高中数学人教版》

例439 圆锥底面半径为1 cm，高为√2 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

答案： √2/2 cm
解析：如图6-1-38，圆锥的轴截面SEF，正方体的对角面ACC₁A₁，设正方体的棱长为x cm，则AA₁=x cm，A₁C₁=√2x cm.
过点S作SO⊥EF，交EF于点O，则SO=√2 cm，OE=1 cm.
易知△EAA₁∽△ESO，
∴AA₁/SO=EA₁/EO，即x/√2=(1 - √2/2x)/1，
解得x=√2/2.
∴该内接正方体的棱长为√2/2 cm.

例440 平面α截球O的截面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为（ ）.
A. √6π
B. 4√3π
C. 4√6π
D. 6√3π

答案： B
解析：设截面圆的圆心为O'，M为截面圆周上任一点，连接O'M，OM，O'O（图略），则O'M=1，O'O=√2，
∴OM=√((√2)² + 1²)=√3，即球的半径为√3.
∴球的体积V=4/3π×(√3)³=4√3π.

例441 如图6-1-39，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，则原图形是（ ）.
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 一般的平行四边形

答案： C
解析：将直观图还原得平行四边形OABC（如图6-1-40）.
∵O'D'=√2O'C'=2√2（cm），
∴OD=2O'D'=4√2（cm）.
∵C'D'=O'C'=2 cm，
∴CD=2 cm，
∴OC=√(C'D'² + OD²)=√(2² + (4√2)²)=6（cm），又OA=O'A'=6 cm，
∴原图形为菱形.

例442 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（ ）.
A. √3/4a²
B. √3/8a²
C. √6/8a²
D. √6/16a²

答案： D
解析：先根据题意画出直观图，然后根据直观图中△A'B'C'的边长及夹角求解.如图6-1-41（1），（2）分别为△ABC的实际图形和直观图.
由图6-1-41（2）可知，A'B'=AB=a，O'C'=1/2OC=√3/4a.
在图6-1-41（2）中过点C'作C'D'⊥A'B'，交A'B'于点D'，则有C'D'=√2/2O'C'=√6/8a.
所以S△A'B'C'=1/2A'B'·C'D'=1/2·a·√6/8a=√6/16a².