《2025年资源库高中数学人教版》

例296 求函数$y=(\sin x+a)(\cos x+a)$的最大值与最小值，其中$0＜a\leq\sqrt{2}$.

答案： 最小值$\frac{a^2-1}{2}$，最大值$a^2+\sqrt{2}a+\frac{1}{2}$
解析：$y=\sin x\cos x+a(\sin x+\cos x)+a^2$，设$t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，则$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.
$y=\frac{t^2-1}{2}+at+a^2=\frac{1}{2}(t+a)^2+\frac{a^2-1}{2}$.
当$t=-a$时，$y_{\min}=\frac{a^2-1}{2}$；当$t=\sqrt{2}$时，$y_{\max}=a^2+\sqrt{2}a+\frac{1}{2}$.

例297 求证：$\cos^4A-\sin^4A=\cos2A\cdot(1-\frac{1}{2}\sin^22A)$.

答案： 证明：左边$=(\cos^2A+\sin^2A)(\cos^2A-\sin^2A)=\cos2A$.
右边$=\cos2A\left(1-\frac{1}{2}\sin^22A\right)=\cos2A\left(\frac{2-\sin^22A}{2}\right)=\cos2A\left(\frac{2-4\sin^2A\cos^2A}{2}\right)=\cos2A(1-2\sin^2A\cos^2A)=\cos2A(\cos^4A+\sin^4A)=\cos^4A-\sin^4A=$左边，原式成立.

例298 化简：$\frac{\sin(2\alpha-\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha-\beta)$.

答案： $-\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$
解析：原式$=\frac{\sin[(\alpha-\beta)+\alpha]-2\cos(\alpha-\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin(\alpha-\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha-\beta)\sin\alpha-2\cos(\alpha-\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin(\alpha-\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha-\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{-\sin\beta}{\sin\alpha}$.

例299 已知$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=\frac{12}{13}(\frac{\pi}{6}＜\alpha＜\frac{\pi}{2})$，求$\cos\alpha$.

答案： $\frac{12\sqrt{3}-5}{26}$
解析：$\alpha-\frac{\pi}{6}\in(0,\frac{\pi}{3})$，$\sin(\alpha-\frac{\pi}{6})=\frac{5}{13}$.
$\cos\alpha=\cos\left[(\alpha-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{6}\right]=\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})\cos\frac{\pi}{6}-\sin(\alpha-\frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6}=\frac{12}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{13}×\frac{1}{2}=\frac{12\sqrt{3}-5}{26}$.

例300 求函数$y=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)+\cos(\frac{\pi}{6}+2x)$的最大值.

答案： 2
解析：$\frac{\pi}{3}-2x+\frac{\pi}{6}+2x=\frac{\pi}{2}$，则$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$，$y=2\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$，最大值为2.