《2025年资源库高中数学人教版》

例247 (多选)已知函数$ f(x) = \begin{cases} \sin(x + a), & x \leq 0, \\ \cos(x + b), & x ＞ 0 \end{cases} $是偶函数，则下列结论一定不成立的是( ).
A.$ a = \frac{\pi}{4}, b = -\frac{\pi}{4} $
B.$ a = \frac{\pi}{3}, b = \frac{\pi}{6} $
C.$ a = \frac{2\pi}{3}, b = \frac{\pi}{6} $
D.$ a = \frac{5\pi}{6}, b = -\frac{2\pi}{3} $

答案： ACD
因为$ f(x) $是偶函数，所以$ f(x) = f(-x) $。当$ x ＞ 0 $时，$ \cos(x + b) = \sin(-x + a) $，取$ x = \frac{\pi}{3} $检验，只有B成立，故选ACD。

例248 已知函数$ f(x) = \sin(x - \varphi)(x \in \mathbf{R}, \varphi $为常数)在$ x = \frac{\pi}{4} $处取得最小值，则函数$ y = f(\frac{3\pi}{4} - x) $是( ).
A.偶函数且它的图象关于点$(\pi, 0)$对称
B.偶函数且它的图象关于点$(\frac{3\pi}{2}, 0)$对称
C.奇函数且它的图象关于点$(\frac{3\pi}{2}, 0)$对称
D.奇函数且它的图象关于点$(\pi, 0)$对称

答案： D
因为$ f(x) $在$ x = \frac{\pi}{4} $取最小值，所以$\frac{\pi}{4} - \varphi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$，$\varphi = \frac{3\pi}{4} - 2k\pi$，则$ f(\frac{3\pi}{4} - x) = -\sin x $，为奇函数，关于$(\pi, 0)$对称，选D。

例249 已知$ f(x) = \sin(2x + \varphi) $，且$ f(\frac{\pi}{12} + x) = f(\frac{\pi}{12} - x) $恒成立，则$ f(\frac{\pi}{3}) = $______.

答案： 0
因为$ f(x) $关于$ x = \frac{\pi}{12} $对称，所以$ 2× \frac{\pi}{12} + \varphi = k\pi + \frac{\pi}{2} $，$\varphi = k\pi + \frac{\pi}{3}$，则$ f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3} + k\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(k\pi + \pi) = 0$。