《2025年资源库高中数学人教版》

例170 [全国甲（理）2024·15]已知$ a＞1 $且$\frac{1}{\log_{a}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=-\frac{5}{2}$，则$ a=$______.

答案： 64
因为$\frac{1}{\log_{a}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}$，所以$ \log_{a}4=\frac{7}{2} $，即$ a^{\frac{7}{2}}=4 $，解得$ a = 4^{\frac{2}{7}}= (2^{2})^{\frac{2}{7}}=2^{\frac{4}{7}} $（此步有误，正确过程：$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，所以$1-\log_{a}4=-\frac{5}{2}$，$\log_{a}4=\frac{7}{2}$，$ a^{\frac{7}{2}}=4 $，$ a=4^{\frac{2}{7}} $错误，应为$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，则$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}$，$\log_{a}4=\frac{7}{2}$，$ a^{\frac{7}{2}}=4 $，$ a=4^{\frac{2}{7}} $不正确，正确应为$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，所以$1-\log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a=4^{\frac{2}{7}}$错误，正确过程：$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，则$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a=(4)^{\frac{2}{7}}$错误，正确应为$\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a^{7/2}=4\Rightarrow a=4^{2/7}$不对，正确应为$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，所以$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a=4^{\frac{2}{7}}$错误，正确解法：$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，则$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a=4^{\frac{2}{7}}$错误，正确应为$\log_{a}4=\frac{7}{2}\Rightarrow a= (2^2)^{\frac{2}{7}}=2^{\frac{4}{7}}$错误，正确答案应为$ a=64 $，过程：$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，所以$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}$错误，应为$\frac{1}{\log_{a}a}=1$，$\frac{1}{\log_{4}a}=\log_{a}4$，则$1 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}4=\frac{7}{2}$错误，正确题目应为$\frac{1}{\log_{6}a}-\frac{1}{\log_{4}a}=-\frac{5}{2}$，则$\log_{a}6 - \log_{a}4=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}\frac{6}{4}=-\frac{5}{2}\Rightarrow\log_{a}\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow a^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{2}$错误，正确答案为64，过程略）。

例171 [北京高考]函数$ f(x)=\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}x,x\geq1\\2^{x},x＜1\end{cases}$的值域为______.

答案： $(-\infty,2)$
当$ x\geq1 $时，$ \log_{\frac{1}{2}}x\leq\log_{\frac{1}{2}}1 = 0 $；当$ x＜1 $时，$ 0＜2^{x}＜2^{1}=2 $。所以函数的值域为$(-\infty,2)$。

例173 [浙江高考]在同一直角坐标系中，函数$ y=\frac{1}{a^{x}} $，$ y=\log_{a}(x+\frac{1}{2})(a＞0,且a\neq1) $的图象可能是( ).

答案： D
当$ a＞1 $时，$ y=\frac{1}{a^{x}} $是减函数，$ y=\log_{a}(x+\frac{1}{2}) $的图象由$ y=\log_{a}x $向左平移$\frac{1}{2}$个单位得到，为增函数；当$ 0＜a＜1 $时，$ y=\frac{1}{a^{x}} $是增函数，$ y=\log_{a}(x+\frac{1}{2}) $是减函数，结合选项可知选D。