《2025年资源库高中数学人教版》

例54 [全国高考]设命题p:∃n∈N,n²＞2ⁿ，则¬p为（ ）
A.∀n∈N,n²＞2ⁿ
B.∃n∈N,n²≤2ⁿ
C.∀n∈N,n²≤2ⁿ
D.∃n∈N,n²=2ⁿ

答案： C
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将“∃”改为“∀”，“＞”改为“≤”，故选C.

例55 [浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*，使得n≥x²”的否定形式是（ ）
A.∀x∈R,∃n∈N*，使得n＜x²
B.∀x∈R,∀n∈N*，使得n＜x²
C.∃x∈R,∃n∈N*，使得n＜x²
D.∃x∈R,∀n∈N*，使得n＜x²

答案： D
解析：否定“∀x∈R”为“∃x∈R”，否定“∃n∈N*”为“∀n∈N*”，否定“n≥x²”为“n＜x²”，故选D.

例56 [全国新课标Ⅱ2024·2]已知命题p:∀x∈R,|x+1|＞1；命题q:∃x＞0,x³=x，则（ ）
A.p和q都是真命题
B.¬p和q都是真命题
C.p和¬q都是真命题
D.¬p和¬q都是真命题

答案： B
解析：p：当x=0时，|0+1|=1不＞1，假命题，¬p真；q：x=1时，1³=1＞0，真命题，故选B.

例57 已知m∈Z，关于x的一元二次方程①mx²-4x+4=0和②x²-4mx+4m²-4m-5=0.求方程①和②的根都是整数的充要条件.

答案： m=1
解析：方程①有整数根：Δ=16-16m≥0⇒m≤1，m∈Z且m≠0，根x=2(1±√1-m)/m为整数，m=-1或1.
m=-1时，方程②为x²+4x+3=0，根-1,-3；方程①为-x²-4x+4=0，根非整数，舍去.
m=1时，方程①x²-4x+4=0根2；方程②x²-4x-5=0根5,-1，符合题意，故m=1.

例58 已知p:{x|-2≤x≤10},q:{x|1-m≤x≤1+m,m＞0}.若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

答案： m≥9
解析：p是q的充分不必要条件⇒{x|-2≤x≤10}⊂{x|1-m≤x≤1+m}，则{1-m≤-2,1+m≥10}⇒m≥9.