《2025年资源库高中数学人教版》

例670 如图8-7，已知抛物线的焦点为$F(5,1)$，准线方程为$x=1$。
（1）求抛物线的方程；
（2）求焦点到顶点的距离；
（3）求顶点坐标；
（4）已知$A(6,2)$，在抛物线上求一点$Q$，使得$|QA| + |QF|$最小。

答案： $（1）(y - 1)^{2}=8(x - 3)；$（2）2；（3）(3,1)；$（4）(\frac {25}{8},2)$
（1）设抛物线上任一点M(x,y)，根据定义$\sqrt {(x - 5)^{2}+(y - 1)^{2}}=$|x - 1|，整理得$(y - 1)^{2}=8(x - 3)。$
（2）焦点到准线的距离为5 - 1=4，焦点到顶点的距离为$\frac {4}{2}=2。$
（3）顶点坐标为(3,1)。
（4）过点A作准线的垂线，交抛物线于点Q。由$\begin{cases}y = 2\y - 1)^{2}=8(x - 3)\end{cases}，$解得$\begin{cases}x=\frac {25}{8}\\y = 2\end{cases}，$点Q的坐标为$(\frac {25}{8},2)。$

例671 若直线$y=kx + 2$与双曲线$x^{2}-y^{2}=6$的右支交于不同的两点，则实数$k$的取值范围是（ ）。
A.$(-\frac {\sqrt {15}}{3},\frac {\sqrt {15}}{3})$
B.$(0,\frac {\sqrt {15}}{3})$
C.$(-\frac {\sqrt {15}}{3},0)$
D.$(-\frac {\sqrt {15}}{3},-1)$

答案： D
由$\begin{cases}y = kx + 2\\x^{2}-y^{2}=6\end{cases}$，得$(1 - k^{2})x^{2}-4kx - 10 = 0$。设直线与双曲线右支交于两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$\begin{cases}1 - k^{2}\neq0\\\Delta=16k^{2}+40(1 - k^{2})＞0\\x_{1}+x_{2}=\frac {4k}{1 - k^{2}}＞0\\x_{1}x_{2}=\frac {-10}{1 - k^{2}}＞0\end{cases}$，解得$-\frac {\sqrt {15}}{3}＜k＜-1$。

例672 设直线$y = 2x + b$与抛物线$y^{2}=4x$交于$A,B$两点，已知弦$AB$的长为$3\sqrt {5}$，求$b$的值。

答案： $-1$
由$\begin{cases}y = 2x + b\\y^{2}=4x\end{cases}$，消去$y$得$4x^{2}+4(b - 1)x + b^{2}=0$。$\Delta=16(b - 1)^{2}-16b^{2}＞0$，得$b＜\frac {1}{2}$。设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=1 - b$，$x_{1}x_{2}=\frac {b^{2}}{4}$。$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt {1 - 2b}$。$|AB|=\sqrt {1 + 2^{2}}\cdot|x_{1}-x_{2}|=\sqrt {5}\cdot\sqrt {1 - 2b}=3\sqrt {5}$，解得$b=-1$。