《2025年资源库高中数学人教版》

典型12 向量数量积的概念、性质、运算律的辨析
例319（多选）已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是（ ）.
A. a·b = ±|a||b| ⇔ a//b
B. a与b同向 ⇔ a·b = |a||b|
C. |a| = |b| ⇔ |a·c| = |b·c|
D. a⊥b ⇔ |a + b| = |a - b|

答案： ABD
解析：A. a·b = |a||b|cosθ，若a·b=±|a||b|，则cosθ=±1，θ=0或π，故a//b，反之亦然，正确；B. a与b同向时θ=0，a·b=|a||b|cos0=|a||b|，反之也成立，正确；C. |a·c|=|a||c||cosθ₁|，|b·c|=|b||c||cosθ₂|，|a|=|b|但θ₁≠θ₂时，|a·c|≠|b·c|，错误；D. a⊥b时，以a，b为邻边的平行四边形为矩形，对角线相等，即|a + b|=|a - b|，反之也成立，正确。

例320 已知a,b满足$\boldsymbol{a} = (3,4)$,$\boldsymbol{b} = (4,3)$,则a在b上的投影向量为( )
A. $\frac{24}{5}$
B. $(\frac{96}{25},\frac{72}{25})$
C. $(\frac{72}{25},\frac{96}{25})$
D. $-\frac{24}{5}$

答案： B
解析：$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2} \boldsymbol{b}$。
因为$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3×4 + 4×3 = 24$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，所以投影向量为$\frac{24}{25}(4,3) = (\frac{96}{25},\frac{72}{25})$。