《2025年资源库高中数学人教版》

例739 (1)已知等比数列$\{a_n\}$中，$n$为偶数，前$n$项和$S_n$为这$n$项中偶数项和的4倍，若前三项的积为64，求此数列的前三项.

答案： 12，4，$\frac{4}{3}$
设等比数列的公比为$q$，由题意知$q\neq1$，且$S_n = 4S_{偶}$，又$S_n=S_{奇}+S_{偶}$，所以$S_{奇}=3S_{偶}$，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{1}{3}=q$.因为前三项的积为$a_1a_2a_3=a_2^3 = 64$，所以$a_2 = 4$，则$a_1=\frac{a_2}{q}=12$，$a_3=a_2q=\frac{4}{3}$，故前三项为12，4，$\frac{4}{3}$.

例739 (2)已知等比数列$\{a_n\}$，公比$q = 3$，$S_{80}=32$，求$a_2 + a_4 + a_6+\cdots+a_{80}$的值.

答案： 24
设$S=a_2 + a_4+\cdots+a_{80}$，则$a_1 + a_3+\cdots+a_{79}=\frac{S}{q}=\frac{S}{3}$.因为$S_{80}=(a_1 + a_3+\cdots+a_{79})+(a_2 + a_4+\cdots+a_{80})=\frac{S}{3}+S=\frac{4S}{3}=32$，所以$S = 24$.

例740 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)-1，7，-13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，…；
(3)$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , -$\frac{5}{8}$ , $\frac{13}{16}$ , -$\frac{29}{32}$ , $\frac{61}{64}$ ,…；
(4)0，1，0，1，….

答案：
(1)$a_n=(-1)^n(6n - 5)$
各项绝对值为1，7，13，19，…，相邻两项差为6，故绝对值通项为$6n - 5$，符号用$(-1)^n$调节，所以$a_n=(-1)^n(6n - 5)$.
(2)$a_n=\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^n})$
$0.8=\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10})$，$0.88=\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^2})$，$0.888=\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^3})$，故$a_n=\frac{8}{9}(1 - \frac{1}{10^n})$.
(3)$a_n=(-1)^n\frac{2^n - 3}{2^n}$
分母为$2^n$，分子：1=2 - 1，1=4 - 3，5=8 - 3，13=16 - 3，29=32 - 3，61=64 - 3，即分子为$2^n - 3$，符号用$(-1)^n$调节，所以$a_n=(-1)^n\frac{2^n - 3}{2^n}$.
(4)$a_n=\frac{1 + (-1)^n}{2}$（或$a_n=\begin{cases}0,n为奇数\\1,n为偶数\end{cases}$或$a_n=\frac{1 + \cos n\pi}{2}$）
奇数项为0，偶数项为1，可用$\frac{1 + (-1)^n}{2}$表示.