《2025年资源库高中数学人教版》

例801 (1)求函数$y=x^{2}$在$x=1$处的导数；
(2)求函数$y=x+\frac {1}{x}$在$x=2$处的导数.

答案：
(1)2
解析：$\Delta y=(1+\Delta x)^{2}-1=2\Delta x+(\Delta x)^{2}$，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=2+\Delta x$，则$y'|_{x=1}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2$。
(2)$\frac{3}{4}$
解析：$\Delta y=(2+\Delta x)+\frac{1}{2+\Delta x}-(2+\frac{1}{2})=\Delta x+\frac{- \Delta x}{2(2+\Delta x)}$，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+\frac{- \Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=1-\frac{1}{2(2+\Delta x)}$，则$y'|_{x=2}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[1-\frac{1}{2(2+\Delta x)}]=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

例802 求函数$y=\frac {\sin x-\cos x}{2\cos x}$的导数.

答案： $\frac{1}{2\cos^{2}x}$（$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k$为整数）
解析：$y'=(\frac{\sin x-\cos x}{2\cos x})'=(\frac{\sin x}{2\cos x}-\frac{1}{2})'=\frac{1}{2}\cdot\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^{2}x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{2\cos^{2}x}=\frac{1}{2\cos^{2}x}$。

例803 (1)求函数$y=\ln (2x^{2}+x)$的导数；
(2)已知$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，$F(x)=f(x^{3}-1)+f(1-x^{3})$，求$F'(1)$的值.

答案：
(1)$\frac{4x + 1}{2x^{2}+x}$（$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞0$）
解析：令$u = 2x^{2}+x$，则$y=\ln u$，$y'=\frac{1}{u}\cdot u'=\frac{1}{2x^{2}+x}\cdot(4x + 1)=\frac{4x + 1}{2x^{2}+x}$。
(2)0
解析：$F'(x)=3x^{2}f'(x^{3}-1)-3x^{2}f'(1 - x^{3})$，则$F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0$。

例804 求曲线$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$过原点的切线方程.

答案： $y = 2x$或$y=-\frac{1}{4}x$
解析：$f'(x)=3x^{2}-6x + 2$。
当切点是原点时，$k=f'(0)=2$，切线方程为$y = 2x$。
当切点不是原点时，设切点为$(x_{0},y_{0})(x_{0}\neq0)$，$y_{0}=x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2x_{0}$，$k = f'(x_{0})=3x_{0}^{2}-6x_{0}+2$，又$k=\frac{y_{0}}{x_{0}}=x_{0}^{2}-3x_{0}+2$，则$x_{0}^{2}-3x_{0}+2=3x_{0}^{2}-6x_{0}+2$，解得$x_{0}=\frac{3}{2}$，$k=-\frac{1}{4}$，切线方程为$y=-\frac{1}{4}x$。综上，切线方程为$y = 2x$或$y=-\frac{1}{4}x$。