《2025年资源库高中数学人教版》

典型4 利用正弦定理解三角形
出题角度3 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
例373 已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形：
(1)已知$b = 6,c = 9,B = 45^{\circ}$，求角C及边a；
(2)已知$b = 4,c = 8,B = 30^{\circ}$，求角C,A及边a；
(3)已知$b = 3,c = 3\sqrt{3},B = 30^{\circ}$，求角A及边a.

答案：
(1)无解；
(2)$C = 90^{\circ},A = 60^{\circ},a = 4\sqrt{3}$；
(3)$A = 90^{\circ},a = 6$或$A = 30^{\circ},a = 3$
解析：
(1)由正弦定理，得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{9×\sin45^{\circ}}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{4}＞1$，
∴本题无解.
(2)由正弦定理，得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{8×\sin30^{\circ}}{4}=1$.又
∵$30^{\circ}＜C＜150^{\circ}$，
∴$C = 90^{\circ}$.
∴$A=180^{\circ}-(B + C)=60^{\circ}$，$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=4\sqrt{3}$.
(3)由正弦定理，得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{3\sqrt{3}×\sin30^{\circ}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵$c＞b$，
∴$C＞B$，
∴C有两解（锐角或钝角）.①若$C = 60^{\circ}$，则$A = 90^{\circ}$，于是$a = 6$；②若$C = 120^{\circ}$，则$A = 30^{\circ}$，于是$a = 3$.
∴$A = 90^{\circ},a = 6$或$A = 30^{\circ},a = 3$.

例376 在$\triangle ABC$中,$AB = \sqrt{7}a$,点$D$在$BC$边上,满足$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}$,$AD = \sqrt{3}$.
(1)若$AC = BD$,求$\triangle ABC$的面积;
(2)求$\angle ADC$余弦值的最小值.

答案：
(1)$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
(2)$\frac{3\sqrt{2}}{5}$