《2025年资源库高中数学人教版》

例1 已知集合$A = \{a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3\}$，若$1 \in A$，求实数$a$的值。

答案： 0
解析：由$1 \in A$可知，集合$A$中的三个元素都可能等于$1$，需分情况讨论并结合集合元素的互异性检验。
（1）若$a + 2 = 1$，则$a=-1$。此时$(a + 1)^2=0$，$a^2 + 3a + 3=1 - 3 + 3=1$，元素重复，不满足题意。
（2）若$(a + 1)^2=1$，则$a=-2$或$a=0$。
当$a=-2$时，$a + 2=0$，$a^2 + 3a + 3=4 - 6 + 3=1$，元素重复，不满足题意；
当$a=0$时，$a + 2=2$，$a^2 + 3a + 3=3$，满足题意。
（3）若$a^2 + 3a + 3=1$，则$a=-1$或$a=-2$。由（1）（2）可知均不满足题意。
综上，实数$a$的值为$0$。

例2 集合$P = \{x|x = 2k,k \in \mathbf{Z}\}$，$Q = \{x|x = 2k + 1,k \in \mathbf{Z}\}$，$R = \{x|x = 4k + 1,k \in \mathbf{Z}\}$，$a \in P$，$b \in Q$，则有（ ）。
A. $a + b$属于$P$
B. $a + b$属于$Q$
C. $a + b$属于$R$
D. $a + b$不属于$P,Q,R$中任意一个

答案： B
解析：设$a = 2m(m \in \mathbf{Z})$，$b = 2n + 1(n \in \mathbf{Z})$，则$a + b=2m + 2n + 1=2(m + n)+1$。因为$m + n \in \mathbf{Z}$，所以$a + b$与集合$Q$中元素具有的特征$x = 2k + 1(k \in \mathbf{Z})$相吻合，说明$a + b$属于$Q$。