《2025年资源库高中数学人教版》

例7 含有三个实数的集合既可以表示为$\{a,\frac{b}{a},1\}$，也可以表示为$\{a^2,a + b,0\}$，求$a^{2021} + b^{2022}$的值。

答案： -1
解析：由集合相等及元素的确定性，$\{a,\frac{b}{a},1\}=\{a^2,a + b,0\}$。因为$0$在第二个集合中，且$a \neq 0$（否则$\frac{b}{a}$无意义），所以$\frac{b}{a}=0$，即$b = 0$。此时集合为$\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}$，则$a^2 = 1$，解得$a = -1$（$a = 1$时元素重复，舍去）。故$a^{2021} + b^{2022}=(-1)^{2021} + 0^{2022}=-1$。

例8 （多选）设全集$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{y|y = x^2,x \neq 0\}$，$B = \{x|x^2 + x - 2 ＜ 0,x \in \mathbf{R}\}$，则（ ）。
A. $A \cap B = \{x|0 ＜ x ＜ 1\}$
B. $A \cup B = \{x|x ＞ -2\}$
C. $A \cap (\complement_U B) = \{x|x ＞ 0\}$
D. $A \cup (\complement_U B) = \mathbf{R}$

答案： AB
解析：集合$A = \{y|y = x^2,x \neq 0\}=\{y|y ＞ 0\}$，$B = \{x|x^2 + x - 2 ＜ 0\}=\{x|-2 ＜ x ＜ 1\}$。
A. $A \cap B = \{x|0 ＜ x ＜ 1\}$，正确；
B. $A \cup B = \{x|x ＞ -2\}$，正确；
C. $\complement_U B = \{x|x \leq -2 或 x \geq 1\}$，$A \cap (\complement_U B)=\{x|x \geq 1\}$，错误；
D. $A \cup (\complement_U B)=\{x|x \leq -2 或 x ＞ 0\}$，错误。

例9 已知集合$A = \{x|x^2 + x - 6 = 0\}$，$B = \{x|mx + 1 = 0\}$，若$A \cup B = A$，则实数$m = $（ ）。
A. $-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或$0$
D. $-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$或$0$

答案： C
解析：$A = \{x|x^2 + x - 6 = 0\}=\{-3,2\}$。因为$A \cup B = A$，所以$B \subseteq A$。
当$B = \varnothing$时，$m = 0$，满足题意；
当$B \neq \varnothing$时，$m \neq 0$，$B = \{-\frac{1}{m}\}$。由$B \subseteq A$得$-\frac{1}{m}=-3$或$-\frac{1}{m}=2$，解得$m = \frac{1}{3}$或$m = -\frac{1}{2}$。
综上，$m = -\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$或$0$。

例10 已知集合$A = \{x|x^2 - 3x + 2 ＜ 0\}$，$B = \{x|x^2 - ax - b \leq 0\}$，若$A \cup B = \{x|0 \leq x ＜ 2\}$，则实数$a$的取值范围是（ ）。
A. $\{a|a ＞ 0\}$
B. $\{a|0 \leq a ＜ 1\}$
C. $\{a|1 \leq a ＜ 2\}$
D. $\{a|0 ＜ a ＜ 2\}$

答案： C
解析：$A = \{x|x^2 - 3x + 2 ＜ 0\}=\{x|1 ＜ x ＜ 2\}$，$A \cup B = \{x|0 \leq x ＜ 2\}$，则方程$x^2 - ax - b = 0$必有一根为$0$，另一根属于$[1,2)$。由韦达定理得$-b = 0$，即$b = 0$，方程为$x^2 - ax = 0$，两根为$x_1 = 0$，$x_2 = a$，所以$1 \leq a ＜ 2$。