《2025年资源库高中数学人教版》

例11 某班有学生46人，寒假均参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有（ ）。
A. 2人
B. 3人
C. 4人
D. 5人

答案： C
解析：设集合$A$（足球队）、$B$（排球队）、$C$（游泳队），$card(A \cup B \cup C)=46$，$card(A)=25$，$card(B)=22$，$card(C)=24$，$card(A \cap B)=12$，$card(A \cap C)=9$，$card(B \cap C)=8$。设三项都参加的有$x$人，由容斥原理$card(A \cup B \cup C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A \cap B)-card(A \cap C)-card(B \cap C)+card(A \cap B \cap C)$，得$46 = 25 + 22 + 24 - 12 - 9 - 8 + x$，解得$x = 4$。

例12 设集合$A = \{x|2 \leq x \leq 6\}$，$B = \{x|2a \leq x \leq a + 3\}$，若$B \subseteq A$，则实数$a$的取值范围是（ ）。
A. $\{a|1 \leq a \leq 3\}$
B. $\{a|a \geq 3\}$
C. $\{a|a \geq 1\}$
D. $\{a|1 ＜ a ＜ 3\}$

答案： C
解析：当$B = \varnothing$时，$2a ＞ a + 3$，解得$a ＞ 3$；
当$B \neq \varnothing$时，$\begin{cases}2a \leq a + 3 \\ 2a \geq 2 \\ a + 3 \leq 6\end{cases}$，解得$1 \leq a \leq 3$。
综上，实数$a$的取值范围是$\{a|a \geq 1\}$。