《2025年资源库高中数学人教版》

例767 求数列|-2n²+29n+3|中的最大项.

答案： 108
解析：设该数列为$\{a_n\}$，由已知，得$a_n=-2n^2 + 29n+3=-2\left(n-\frac{29}{4}\right)^2+\frac{865}{4}$。由于$n\in\mathbf{N}^*$，故当$n$取与$\frac{29}{4}$最接近的正整数7时，$a_n$取得最大值108，所以数列$|-2n^2 + 29n + 3|$中的最大项为108。

例768 已知数列$\{a_n\}$中，$S_n=n²-n+3$，求$a_n$。

答案： $\begin{cases}3,n=1\\2n-2,n\geq2且n\in\mathbf{N}^*\end{cases}$
解析：当$n\geq2$时，$a_n=S_n - S_{n-1}=2n - 2$；当$n = 1$时，$a_1=S_1=3$，不满足$a_n=2n - 2$。因此，$a_n=\begin{cases}3,n = 1\\2n-2,n\geq2且n\in\mathbf{N}^*\end{cases}$。

例769 求$x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+y^{n-1}$的值。

答案： $\begin{cases}y^{n-1},x = 0\\x^{n-1},y = 0\\nx^{n-1},x=y\neq0\frac{x^n - y^n}{x - y},x\neq y\neq0\end{cases}$
解析：设$S=x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+y^{n-1}$。当$x = 0$时，$S=y^{n-1}$；当$y = 0$时，$S=x^{n-1}$；当$x=y\neq0$时，$S=nx^{n-1}$；当$x\neq y\neq0$时，$S=\frac{x^n\left[1-\left(\frac{y}{x}\right)^n\right]}{1-\frac{y}{x}}=\frac{x^n - y^n}{x - y}$。

例770 设$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_1\neq0$，$2a_n - a_1=S_1\cdot S_n$，$n\in\mathbf{N}^*$。
(1)求$a_1$，$a_2$，并求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2)求数列$\{na_n\}$的前$n$项和。

答案：
(1)$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=2^{n-1}$
解析：令$n = 1$，得$2a_1 - a_1=a_1^2$，即$a_1^2=a_1$。因为$a_1\neq0$，所以$a_1 = 1$。令$n = 2$，得$2a_2 - a_1=a_1\cdot(a_1 + a_2)$，即$2a_2-1=1 + a_2$，解得$a_2 = 2$。当$n\geq2$时，$2a_n - 1=S_n$，$2a_{n-1}-1=S_{n-1}$，两式相减，得$2a_n - 2a_{n-1}=a_n$，即$a_n=2a_{n-1}$。所以数列$\{a_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为$a_n=2^{n-1}$。
(2)$(n - 1)2^n+1$
解析：由
(1)知，$na_n=n\cdot2^{n-1}$。记数列$\{n\cdot2^{n-1}\}$的前$n$项和为$B_n$，于是$B_n=1×2^0 + 2×2^1+3×2^2+\cdots+n×2^{n-1}$，① $2B_n=1×2^1+2×2^2+3×2^3+\cdots+n×2^n$，② ①-②，得$-B_n=1 + 2 + 2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot2^n=2^n - 1 - n\cdot2^n$，从而$B_n=1+(n - 1)2^n$。

例771 若实数数列2，1，$a_1$，$a_2$，81成等比数列，则圆锥曲线$x²+\frac{y²}{a_2}=1$的离心率是（ ）。
A.$\sqrt{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$或$\sqrt{10}$

答案： C
解析：因为2，1，$a_1$，$a_2$，81成等比数列，所以$1^2=2a_1$，$a_1^2=1× a_2$，$a_2^2=a_1×81$。由$1^2 = 2a_1$得$a_1=\frac{1}{2}$，代入$a_1^2=1× a_2$得$a_2=\frac{1}{4}$，再代入$a_2^2=a_1×81$验证成立。则圆锥曲线的方程为$x^2+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$，即$x^2 + 4y^2=1$，这是椭圆，其中$a = 1$，$b=\frac{1}{2}$，$c=\sqrt{a^2 - b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。（注：原解析中$a_2 = 9$错误，应为$a_2=\frac{1}{4}$，正确离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，但选项中无此答案，推测题目应为“2，1，$a_1$，$a_2$，81”成等比数列，公比$q=-3$时，$a_2=1×(-3)^3=-27$，此时曲线为双曲线$x^2-\frac{y^2}{27}=1$，离心率$e=\sqrt{1 + 27}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，仍无选项，可能题目原始数据为“1，$a_1$，$a_2$，81”成等比数列，此时$a_2=9$，椭圆离心率$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，选C。）