《2025年资源库高中数学人教版》

例47 已知h＞0,a,b∈R，设甲：“|a-b|＜2h”，乙：“|a-1|＜h，且|b-1|＜h”，那么（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案： B
解析：
(1)取a=-2,b=1,h=2，|a-b|=3＜4=2h，但|a-1|=3＞2，乙不成立，甲≠乙.
(2)由|a-1|＜h,|b-1|＜h，得|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|＜h+h=2h，乙⇒甲，故选B.

例48 求ax²+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件.

答案： a≤1
解析：当a=0时，方程为2x+1=0，x=-1/2＜0，符合题意.
当a≠0时，Δ=4-4a≥0得a≤1.
①有一个负根：x₁x₂=1/a＜0⇒a＜0.
②有两个负根：{x₁+x₂=-2/a＜0,x₁x₂=1/a＞0}⇒a＞0，结合a≤1得0＜a≤1.
综上，a≤1.

例49 [天津高考]已知a∈R，则“a＞6”是“a²＞36”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A
解析：a＞6⇒a²＞36，但a²＞36⇒a＞6或a＜-6，故选A.

例50 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A.所有不能被2整除的整数都不是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案： D
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，否定结论“都是”为“不是”，故选D.