《2025年资源库高中数学人教版》

常见周期的表达形式：
（1）若$f(x)=f(x+a)$，则$f(x)$的周期$T=a$。
（2）若$f(x+a)=-f(x)$或$f(x+a)=\pm\frac{1}{f(x)}$或$f(x+a)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}$（$f(x)\neq - 1$），则$f(x)$的周期$T = 2a$。
（3）若$f(x+a)=f(x+b)$（$a\neq b$），则$f(x)$的周期$T=|b - a|$。
（4）若$f(x+a)=-f(x+b)$（$a\neq b$），则$f(x)$的周期$T = 2|b - a|$。
（5）若函数$f(x)$的图象关于直线$x = a$和$x = b$对称，则$f(x)$的周期$T = 2|b - a|$。
（6）若函数$f(x)$的图象关于点$(a,0)$和点$(b,0)$对称，则$f(x)$的周期$T = 2|b - a|$。
（7）若函数$f(x)$的图象关于直线$x = a$对称，又关于点$(b,0)$对称，则$f(x)$的周期$T = 4|b - a|$。
（8）若函数$f(x)$是偶函数，其图象关于直线$x = a$对称，则$f(x)$的周期$T = 2a$。
（9）若函数$f(x)$是偶函数，其图象关于点$(a,0)$对称，则$f(x)$的周期$T = 4a$。
（10）若函数$f(x)$是奇函数，其图象关于直线$x = a$对称，则$f(x)$的周期$T = 4a$。
（11）若函数$f(x)$是奇函数，其图象关于点$(a,0)$对称，则$f(x)$的周期$T = 2a$。

答案： 无具体题目要求解答，为知识点梳理内容。

幂函数的定义、图象及性质：
1. 幂函数的定义：一般地，函数$y = x^\alpha$叫做幂函数，其中$x$是自变量，$\alpha$是常数。
2. 幂函数的图象和性质：
（1）幂函数图象：当$\alpha = 1,2,3,\frac{1}{2}, - 1$时，幂函数$y = x^\alpha$的图象如图2 - 1 - 2。
（2）幂函数的性质：观察图2 - 1 - 2可以得到常见幂函数的特征如表所示：
函数：$y = x$，性质：定义域$\mathbf{R}$，值域$\mathbf{R}$，奇偶性奇函数，单调性在$\mathbf{R}$上为增函数，过定点$(1,1),(0,0)$。
函数：$y = x^2$，性质：定义域$\mathbf{R}$，值域$[0,+\infty)$，奇偶性偶函数，单调性在$[0,+\infty)$上为增函数，在$(-\infty,0]$时，单调递减，过定点$(1,1),(0,0)$。
函数：$y = x^3$，性质：定义域$\mathbf{R}$，值域$\mathbf{R}$，奇偶性奇函数，单调性在$\mathbf{R}$上为增函数，过定点$(1,1),(0,0)$。
函数：$y = x^{\frac{1}{2}}$，性质：定义域$[0,+\infty)$，值域$[0,+\infty)$，奇偶性非奇非偶函数，单调性在$[0,+\infty)$上为增函数，过定点$(1,1),(0,0)$。
函数：$y = x^{-1}$，性质：定义域$\{x|x\in\mathbf{R}且x\neq0\}$，值域$\{y|y\in\mathbf{R}且y\neq0\}$，奇偶性奇函数，单调性$x\in(0,+\infty)$时，单调递减，$x\in(-\infty,0)$时，单调递减，过定点$(1,1)$。
综合以上特征得幂函数的性质如下：
①所有的幂函数在$(0,+\infty)$上都有定义，并且图象都经过定点$(1,1)$。
②单调性：在区间$(0,+\infty)$上，当$\alpha＞0$时，$y = x^\alpha$在第一象限内单调递增；当$\alpha＜0$时，$y = x^\alpha$在第一象限内单调递减。
③奇偶性：当$\alpha$为奇数时，幂函数为奇函数；当$\alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。
对于形如$f(x)=x^{\frac{m}{n}}$（其中$m\in\mathbf{N}^*,n\in\mathbf{Z},m$与$n$互质）的幂函数：
a. 当$n$为偶数时，$f(x)$为偶函数，图象关于$y$轴对称；
b. 当$m,n$都为奇数时，$f(x)$为奇函数，图象关于原点对称；
c. 当$m$为偶数，且$n$为奇数时，$f(x)$是非奇非偶函数，图象只在第一象限。

答案： 无具体题目要求解答，为知识点梳理内容。