《2025年资源库高中数学人教版》

1. 平面向量基本定理

答案： 如果$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量$\boldsymbol{a}$，有且只有一对实数$\lambda_1,\lambda_2$，使$\boldsymbol{a}=\lambda_1\boldsymbol{e}_1+\lambda_2\boldsymbol{e}_2$。若$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$不共线，我们把$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

3. 平面向量的坐标表示

答案： 如图4-1-16，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}$，取$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}\}$作为基底。对于平面内的任意一个向量$\boldsymbol{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数$x,y$，使得$\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}$。这样，平面内的任一向量$\boldsymbol{a}$都可由$x,y$唯一确定，我们把有序数对$(x,y)$叫做向量$\boldsymbol{a}$的坐标，记作$\boldsymbol{a}=(x,y)$。其中，$x$叫做$\boldsymbol{a}$在x轴上的坐标，$y$叫做$\boldsymbol{a}$在y轴上的坐标，$(x,y)$叫做向量$\boldsymbol{a}$的坐标表示。显然，$\boldsymbol{i}=(1,0)$，$\boldsymbol{j}=(0,1)$，$\boldsymbol{0}=(0,0)$。

4. 向量加法的坐标运算

答案： 设$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。

5. 向量减法的坐标运算

答案： 设$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。

6. 由向量起点和终点坐标求向量坐标的方法

答案： 如图4-1-17，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，作向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。