《2025年资源库高中数学人教版》

例557 如图6-3-54，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M、N分别为PB、PD的中点.
(1)证明：MN//平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为Q，求二面角A-MN-Q的余弦值.

答案：
(1)证明：MN是△PBD的中位线，MN//BD，BD⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，所以MN//平面ABCD。
(2)$\frac{\sqrt{33}}{33}$
解析：建立坐标系得平面AMN的法向量m=(2$\sqrt{2},0,-1$)，平面QMN的法向量n=(2$\sqrt{2},0,5$)，cos＜m,n＞=$\frac{8 - 5}{\sqrt{8 + 1}×\sqrt{8 + 25}}=\frac{\sqrt{33}}{33}$。