《2025年资源库高中数学人教版》

例403 在平面四边形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______.

答案： ($\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$)
解析：延长BA与CD的延长线交于点E，平移AD，当点A与点D重合时，AB最长，在△BCE中，∠B=75°，∠BCE=30°，BC=2，由正弦定理$\frac{BC}{sinE}=\frac{BE}{sin∠BCE}$，即$\frac{2}{sin30°}=\frac{BE}{sin75°}$，解得BE=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$；平移AD，当点D与点C重合时，AB最短，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理$\frac{BF}{sin30°}=\frac{BC}{sin75°}$，解得BF=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，所以AB的取值范围是($\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$)。