《2025年资源库高中数学人教版》

例792 [全国乙（理）2023·10]已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$\frac{2\pi}{3}$，集合$S=\{\cos a_n|n\in\mathbf{N}^*\}$。若$S=\{a,b\}$，则$ab=(\quad)$。
A.-1
B.$-\frac{1}{2}$
C.0
D.$\frac{1}{2}$

答案： B
解析：$a_n=a_1 + (n - 1)\frac{2\pi}{3}$，$\cos a_n=\cos\left(a_1 + (n - 1)\frac{2\pi}{3}\right)$，周期为3，$\cos a_1$，$\cos\left(a_1 + \frac{2\pi}{3}\right)$，$\cos\left(a_1 + \frac{4\pi}{3}\right)$。$S$有两个元素，所以其中两个相等。若$\cos a_1=\cos\left(a_1 + \frac{2\pi}{3}\right)$，则$a_1=\frac{\pi}{3} + k\pi$，$\cos a_1=\pm\frac{1}{2}$，$\cos\left(a_1 + \frac{4\pi}{3}\right)=\mp1$，$S=\left\{\frac{1}{2},-1\right\}$或$\left\{-\frac{1}{2},1\right\}$，$ab=-\frac{1}{2}$。同理其他情况也得$ab=-\frac{1}{2}$，故选B。

例793 [全国新高考]若$S_n$是公差不为0的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，若$a_3=S_5$，$a_2a_4=S_4$。
(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2)求使得$S_n＞a_n$的$n$的最小值。

答案：
(1)$a_n=2n - 6$
解析：设公差为$d\neq0$，$a_3=a_1 + 2d=S_5=5a_1 + 10d$，$4a_1 + 8d=0$，$a_1=-2d$。$a_2a_4=(a_1 + d)(a_1 + 3d)=(-d)(d)=-d^2=S_4=4a_1 + 6d=-8d + 6d=-2d$，$d^2 - 2d=0$，$d = 2$，$a_1=-4$，$a_n=-4 + 2(n - 1)=2n - 6$。
(2)7
解析：$S_n=\frac{n(-4 + 2n - 6)}{2}=n^2 - 5n$，$S_n＞a_n$即$n^2 - 5n＞2n - 6$，$n^2 - 7n + 6＞0$，$n＜1$或$n＞6$，$n\in\mathbf{N}^*$，最小值为7。

例794 [北京2024·15]设$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$是两个不同的无穷数列,且都不是常数列.记集合$M=\{ k|a_{k}=b_{k},k∈N^{*}\}$,给出下列四个结论:
①若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等差数列,则$M$中最多有1个元素;
②若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等比数列,则$M$中最多有2个元素;
③若$\{ a_{n}\}$为等差数列,$\{ b_{n}\}$为等比数列,则$M$中最多有3个元素;
④若$\{ a_{n}\}$为递增数列,$\{ b_{n}\}$为递减数列,则$M$中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.

答案： ①③④
解析：对于①，若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等差数列，设$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d_{1}=d_{1}n+(a_{1}-d_{1})$，$n∈N^{*}$，$b_{n}=b_{1}+(n - 1)d_{2}=d_{2}n+(b_{1}-d_{2})$，$n∈N^{*}$，故可将$a_{n}$与$b_{n}$看作是关于$n$的一次函数，其图象最多只有一个交点，且交点横坐标不是整数时，不存在$k$满足$a_{k}=b_{k}$，故$M$中最多只有1个元素，①正确。
对于②，若$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$均为等比数列，设$a_{n}=2^{n}$，$b_{n}=(-2)^{n}$，则当$n$为偶数时，$a_{n}=b_{n}$，所以$M$中有无数个元素，②错误。
对于③，若$\{ a_{n}\}$为等差数列，$\{ b_{n}\}$为等比数列，则设$a_{n}=3n - 4$，$b_{n}=(-2)^{n - 1}$，则$a_{1}=-1=b_{1}$，$a_{2}=2=b_{2}$，$a_{4}=8=b_{4}$，满足$M$中有3个元素，③正确。
对于④，若$\{ a_{n}\}$为递增数列，则$a_{n}$随$k$的增大而增大，在平面直角坐标系中，散点$(k,a_{k})$由左下到右上分布；若$\{ b_{n}\}$为递减数列，则$b_{n}$随$k$的增大而减小，散点$(k,b_{k})$由左上到右下分布。故点$(k,a_{k})$与点$(k,b_{k})$最多只能重合一次，即$M$中最多只有1个元素，④正确。
综上，正确结论的序号是①③④。