《2025年资源库高中数学人教版》

例377 在$\triangle ABC$中,内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,且$a^2 = b^2 + c^2+\sqrt{3}bc$.
(1)求$A$;
(2)设$a=\sqrt{3}$,$S$为$\triangle ABC$的面积,求$S + 3\cos B\cos C$的最大值,并指出此时$B$的值.

答案：
(1)$\frac{5\pi}{6}$
(2)最大值为3，此时$B=\frac{\pi - A}{2}=\frac{\pi}{12}$

例378 已知$a$,$b$,$c$分别是$\triangle ABC$的内角$A$,$B$,$C$所对的边,且$a\cos C+\sqrt{3}a\sin C = b + c$.
(1)求$A$的大小;
(2)若$c = 5$,$\triangle ABC$的面积为$10\sqrt{3}$,求$a$,$b$;
(3)求$\frac{bc - ab - ac}{a^2}$的取值范围.

答案：
(1)$\frac{\pi}{3}$
(2)$a = 7$,$b = 8$
(3)$\left[-\frac{13}{12},-1\right]$