《2025年资源库高中数学人教版》

例3 已知集合$A = \{x|x = 4n + 1,n \in \mathbf{Z}\}$，$B = \{x|x = 4n - 3,n \in \mathbf{Z}\}$，$C = \{x|x = 8n + 1,n \in \mathbf{Z}\}$，则$A,B,C$的关系是（ ）。
A. $C$是$B$的真子集，$B$是$A$的真子集
B. $A$是$B$的真子集，$B$是$C$的真子集
C. $C$是$A$的真子集，$A = B$
D. $A = B = C$

答案： C
解析：设集合$A$中的元素$x = 4n_1 + 1$，$n_1 \in \mathbf{Z}$，集合$B$中的元素$x = 4n_2 - 3$，$n_2 \in \mathbf{Z}$。由$4n_1 + 1 = 4n_2 - 3$可得$n_2 = n_1 + 1$，故$A = B$。又因为$5 \in A$，$5 \notin C$，所以$C$是$A$的真子集。

例4 已知集合$A = \{x|y = x^2 - 2x + 1\}$，$B = \{y|y = x^2 - 2x + 1\}$，$C = \{x|x^2 - 2x + 1 = 0\}$，$D = \{x|x^2 - 2x + 1 ＜ 0\}$，$E = \{(x,y)|y = x^2 - 2x + 1\}$，则下列结论正确的是（ ）。
A. $A \subseteq B \subseteq C \subseteq D$
B. $D \subseteq C \subseteq B \subseteq A$
C. $B \subseteq E \subseteq A$
D. $A = B$

答案： B
解析：$A = \{x|y = x^2 - 2x + 1\}$表示函数$y = x^2 - 2x + 1$中$x$的取值范围，故$A = \mathbf{R}$；
$B = \{y|y = x^2 - 2x + 1\}$表示函数$y = x^2 - 2x + 1$中$y$的取值范围，即$y=(x - 1)^2 \geq 0$，故$B = \{y|y \geq 0\}$；
$C = \{x|x^2 - 2x + 1 = 0\}$表示方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解集，即$\{1\}$；
$D = \{x|x^2 - 2x + 1 ＜ 0\}$表示不等式$x^2 - 2x + 1 ＜ 0$的解集，因为$(x - 1)^2 ＜ 0$无解，故$D = \varnothing$；
$E = \{(x,y)|y = x^2 - 2x + 1\}$是点集。所以$D \subseteq C \subseteq B \subseteq A$。

例5 写出满足$\{0,1,2\} \subseteq A \subseteq \{0,1,2,3,4,5\}$的集合$A$。

答案： $\{0,1,2\}$，$\{0,1,2,3\}$，$\{0,1,2,4\}$，$\{0,1,2,5\}$，$\{0,1,2,3,4\}$，$\{0,1,2,3,5\}$，$\{0,1,2,4,5\}$，$\{0,1,2,3,4,5\}$
解析：由$\{0,1,2\} \subseteq A$知$0,1,2 \in A$，且$A$中除$0,1,2$外还有$\{3,4,5\}$中的至少一个元素。按$A$中所含$\{3,4,5\}$元素的个数分类，可得集合$A$为上述结果。

例6 设集合$A = \{1,2,3,4,5,6\}$，$B = \{4,5,6,7,8\}$，则满足$S \subseteq A$且$S \cap B \neq \varnothing$的集合$S$的个数是（ ）。
A. 57
B. 56
C. 49
D. 8

答案： B
解析：$A = \{1,2,3,4,5,6\}$，$B = \{4,5,6,7,8\}$，$S \subseteq A$且$S \cap B \neq \varnothing$，则$S$必含$4,5,6$中至少一个元素。集合$\{1,2,3\}$的子集有$2^3 = 8$个。
（1）当$S$只含$4,5,6$中的一个元素时，有$3 × 8 = 24$个；
（2）当$S$含$4,5,6$中的两个元素时，有$3 × 8 = 24$个；
（3）当$S$含$4,5,6$这三个元素时，有$8$个。
故集合$S$的个数为$24 + 24 + 8 = 56$。