《2025年资源库高中数学人教版》

例432 已知复数$z=(2^{x}+a)+(2^{x}+a)i$,$x,a\in\mathbf{R}$.当x在$(-\infty,+\infty)$内变化时,试求$|z|$的最小值$g(a)$.

答案： 令$t = 2^{x}+2^{-x}$，则$t\geq2$，$|z|^{2}=2(2^{x}+a)^{2}=2(t^{2}-2 + 2at + 2a^{2})=2(t + a)^{2}+2a^{2}-4$。当$-a\geq2$即$a\leq-2$时，$g(a)=\sqrt{a^{2}-2}$；当$-a＜2$即$a＞-2$时，$g(a)=\sqrt{2}|a + 1|$。

例433 满足$z+\frac{5}{z}$是实数,且$z + 3$的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.

答案： 存在，$z=-1 - 2i$或$z=-2 - i$
设$z=x + yi$（$y\neq0$），则$z+\frac{5}{z}=x + \frac{5x}{x^{2}+y^{2}}+(\frac{5y}{x^{2}+y^{2}}+y)i$。由题意得$\begin{cases}y + \frac{5y}{x^{2}+y^{2}}=0\\x + 3=-y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}$。

例434 已知复数z满足$|z+\sqrt{3}+i|\leq1$,求:
(1)$|z|$的最大值和最小值;
(2)$|z - 1|^{2}+|z + 1|^{2}$的最大值和最小值;
(3)$|z-\sqrt{3}|^{2}+|z - 2i|^{2}$的最大值和最小值.

答案：
(1)最大值3，最小值1
复数z在以$M(-\sqrt{3},-1)$为圆心，1为半径的圆上，$|OM|=2$，$|z|_{max}=2 + 1=3$，$|z|_{min}=2 - 1=1$。
(2)最大值20，最小值4
$|z - 1|^{2}+|z + 1|^{2}=2|z|^{2}+2$，$|z|^{2}$最大值9，最小值1，故原式最大值20，最小值4。
(3)最大值$27 + 2\sqrt{43}$，最小值$27 - 2\sqrt{43}$
$|z-\sqrt{3}|^{2}+|z - 2i|^{2}=2|z|^{2}-2\sqrt{3}x - 4y + 7$，根据几何意义求得最值。

例435 关于x的方程$2x^{2}+3ax + a^{2}-a=0$至少有一个模为1的根,求实数a的值.

答案： $a=-1$或$a=2\pm\sqrt{2}$
若实根为1或$-1$，代入方程无解或得$a=2\pm\sqrt{2}$；若虚根，设$z = bi$，则$\overline{z}=-bi$，$z\overline{z}=\frac{a^{2}-a}{2}=1$，解得$a=-1$或$a=2$，验证得$a=-1$。