《2025年资源库高中数学人教版》

例643 [全国新课标Ⅱ2023·15]已知直线x - my + 1=0与⊙C:(x - 1)²+y²=4交于A,B两点，写出满足“△ABC面积为$\frac{8}{5}$”的m的一个值______.

答案： 2（或-2或$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$，填一个即可）
⊙C半径$r = 2$，圆心$C(1,0)$，圆心到直线距离$d=\frac{|1 - 0 + 1|}{\sqrt{1 + m^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1 + m^{2}}}$
弦长$|AB|=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{4 - d^{2}}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×|AB|× d=\sqrt{4 - d^{2}}× d=\frac{8}{5}$
设$t = d^{2}$，则$\sqrt{4 - t}×\sqrt{t}=\frac{8}{5}$，$t(4 - t)=\frac{64}{25}$，$25t^{2}-100t + 64 = 0$，解得$t=\frac{4}{5}$或$t=\frac{16}{5}$
当$t=\frac{4}{5}$时，$d=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{1 + m^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$m=\pm2$
当$t=\frac{16}{5}$时，$d=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{1 + m^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$m=\pm\frac{1}{2}$

例644 [全国新高考]写出与圆x²+y²=1和(x - 3)²+(y - 4)²=16都相切的一条直线的方程______.

答案： x=-1（或7x - 24y - 25=0或3x + 4y - 5=0，填一个即可）
圆$x^{2}+y^{2}=1$（圆心$O_{1}(0,0)$，半径$r_{1}=1$），圆$(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=16$（圆心$O_{2}(3,4)$，半径$r_{2}=4$），$|O_{1}O_{2}|=5=r_{1}+r_{2}$，两圆外切，有3条公切线
①斜率不存在时，切线$x=-1$
②斜率存在时，设切线$y = kx + b$，$\begin{cases}\frac{|b|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\frac{|3k - 4 + b|}{\sqrt{k^{2}+1}}=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{7}{24}\\b=-\frac{25}{24}\end{cases}$或$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}\\b=\frac{5}{4}\end{cases}$，切线方程$7x - 24y - 25=0$或$3x + 4y - 5=0$

例645 当曲线$y = 1+\sqrt{4 - x^{2}}$与直线$y = k(x - 2)+4$有两个相异交点时，实数k的取值范围是( ).
A. $(0,\frac{5}{12})$ B. $(\frac{1}{3},\frac{3}{4}]$ C. $(\frac{5}{12},\frac{3}{4}]$ D. $(\frac{5}{12},+\infty)$

答案： C
曲线$y = 1+\sqrt{4 - x^{2}}$是以$(0,1)$为圆心，2为半径的上半圆，直线过定点$P(2,4)$
圆心到直线距离$d=\frac{| - 2k + 3|}{\sqrt{k^{2}+1}}=2$，$4k^{2}-12k + 9 = 4k^{2}+4$，$k=\frac{5}{12}$（切线斜率）
直线PA斜率$k_{PA}=\frac{4 - 1}{2 - (-2)}=\frac{3}{4}$，所以$k\in(\frac{5}{12},\frac{3}{4}]$