《2025年资源库高中数学人教版》

例698 [全国新课标Ⅱ2023·5]已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1 $的左、右焦点分别为$ F_{1},F_{2} $,直线$ y=x+m $与$ C $交于$ A,B $两点,若$ \triangle F_{1}AB $面积是$ \triangle F_{2}AB $面积的2倍,则$ m=( ) $.
A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{3} $
C.$ -\frac{\sqrt{2}}{3} $
D.$ -\frac{2}{3} $

答案： C
解析:设直线$ y=x+m $与$ x $轴交于点$ M(-m,0) $,直线方程与椭圆方程联立得$ \frac{4x^{2}}{3}+2mx+m^{2}-1=0 $,$ \Delta=(2m)^{2}-\frac{4}{3}×4×(m^{2}-1)＞0 $,解得$ -2＜m＜2 $.
设$ F_{1}(-\sqrt{2},0),F_{2}(\sqrt{2},0) $到直线$ AB $的距离分别为$ d_{1},d_{2} $,由题意得$ 2×\frac{1}{2}×|AB|× d_{2}=\frac{1}{2}×|AB|× d_{1} $,所以$ d_{1}=2d_{2} $.
由三角形相似可得$ \frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{|F_{1}M|}{|F_{2}M|}=\frac{|\sqrt{2}+m|}{|\sqrt{2}-m|}=2 $,解得$ m=-\frac{\sqrt{2}}{3} $或$ m=-3\sqrt{2} $.
因为$ -2＜m＜2 $,所以$ m=-\frac{\sqrt{2}}{3} $,故选C.

例699 [全国新课标Ⅰ2024·16]已知$ A(0,3) $和$ P(3,\frac{3}{2}) $为椭圆$ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0) $上两点.
(1)求$ C $的离心率;
(2)若过$ P $的直线$ l $交$ C $于另一点$ B $,且$ \triangle ABP $的面积为9,求$ l $的方程.

答案：
(1)$ \frac{1}{2} $
(2)$ y=\frac{3}{2}x - 3 $或$ y=\frac{1}{2}x $
解析:
(1)将$ A(0,3),P(3,\frac{3}{2}) $的坐标代入椭圆$ C $的方程,可得$ \begin{cases}\frac{0}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1\frac{9}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1\end{cases} $,解得$ \begin{cases}a=2\sqrt{3}\\b=3\end{cases} $,则$ c^{2}=a^{2}-b^{2}=3 $,即$ c=\sqrt{3} $,则$ C $的离心率$ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} $.
(2)由
(1)可得椭圆$ C $的方程为$ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1 $.
当直线$ l $的斜率不存在时,直线$ l $的方程为$ x=3 $,此时$ S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}\neq9 $,不符合题意,故直线$ l $的斜率存在.
设直线$ l $的方程为$ y - \frac{3}{2}=k(x - 3) $,令$ P(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) $,联立$ \begin{cases}y=k(x - 3)+\frac{3}{2}\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases} $,消去$ y $可得$ (4k^{2}+3)x^{2}-(24k^{2}-12k)x + 36k^{2}-36k - 27=0 $,$ \Delta=36(2k + 3)^{2}＞0 $,$ k\neq-\frac{3}{2} $,所以$ \begin{cases}x_{1}+x_{2}=\frac{24k^{2}-12k}{4k^{2}+3}\\x_{1}x_{2}=\frac{36k^{2}-36k - 27}{4k^{2}+3}\end{cases} $,所以$ |PB|=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{k^{2}+1}\sqrt{3k^{2}+9k + \frac{27}{4}}}{4k^{2}+3} $.
又点$ A $到直线$ PB $的距离$ d=\frac{|3k + \frac{3}{2}|}{\sqrt{k^{2}+1}} $,$ S=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{3}\sqrt{k^{2}+1}\sqrt{3k^{2}+9k + \frac{27}{4}}}{4k^{2}+3}\cdot\frac{|3k + \frac{3}{2}|}{\sqrt{k^{2}+1}}=9 $,解得$ k=\frac{1}{2} $或$ k=\frac{3}{2} $,所以直线$ l $的方程为$ y=\frac{1}{2}x $或$ y=\frac{3}{2}x - 3 $.