《2025年资源库高中数学人教版》

例126 [全国甲（文）2023·11]已知函数$ f(x)=e^{-(x-1)^2} $.记$ a=f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $,$ b=f\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $,$ c=f\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right) $,则( ).
A. $ b＞c＞a $ B. $ b＞a＞c $ C. $ c＞b＞a $ D. $ c＞a＞b $

答案： A
解析:由题意得$ f(x)=f(2-x) $,则函数$ f(x) $的图象关于直线$ x=1 $对称,且$ f(x) $在$ (-\infty,1) $上单调递增,在$ (1,+\infty) $上单调递减.
因为$ 1＞\frac{\sqrt{3}}{2}＞\frac{\sqrt{2}}{2} $,所以$ b=f\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)＞f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=a $,$ c=f\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)=f\left( 2-\frac{\sqrt{6}}{2} \right) $.
因为$ \frac{\sqrt{2}}{2}＜2-\frac{\sqrt{6}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2} $,所以$ b＞c＞a $,故选A.

例127 [全国高考]若$ 2^x-2^y＜3^{-x}-3^{-y} $,则( ).
A. $ \ln(y-x+1)＞0 $ B. $ \ln(y-x+1)＜0 $ C. $ \ln|x-y|＞0 $ D. $ \ln|x-y|＜0 $

答案： A
解析:由$ 2^x-2^y＜3^{-x}-3^{-y} $,可得$ 2^x-3^{-x}＜2^y-3^{-y} $.
设$ f(x)=2^x-3^{-x} $,易知$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上为增函数.
又$ f(x)＜f(y) $,所以$ x＜y $.
则$ y-x+1＞1 $,所以$ \ln(y-x+1)＞0 $,故A正确,B错误.
而当$ x=1 $,$ y=2 $时,$ \ln|x-y|=0 $,故C,D错误,
故选A.