《2025年资源库高中数学人教版》

例106 已知函数$ f(x)=x^2+bx+c $,对任意实数$ x $都有$ f(2+x)=f(2-x) $,比较$ f(1),f(2),f(4) $的大小.

答案： 解:由题意知$ f(x) $图象的对称轴为直线$ x=2 $,所以$ f(1)=f(3) $.
因为函数$ f(x)=x^2+bx+c $的图象开口向上,
所以函数$ f(x) $在$ [2,+\infty) $上单调递增,
所以$ f(2)＜f(3)＜f(4) $,即$ f(2)＜f(1)＜f(4) $.

例107 已知$ a＞0 $,函数$ f(x)=x^3-ax $在区间$ [1,+\infty) $上单调,求实数$ a $的取值范围.

答案： 解:任取$ x_1,x_2\in[1,+\infty) $,且$ x_1＜x_2 $,
则$ x_2-x_1＞0 $,$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3-ax_2)-(x_1^3-ax_1) $
$ =(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2-a) $.
因为$ 1\leq x_1＜x_2 $,所以$ x_1^2+x_1x_2+x_2^2＞3 $.
显然不存在常数$ a $,使$ x_1^2+x_1x_2+x_2^2-a $恒为负值.
又$ f(x) $在$ [1,+\infty) $上单调,
所以必有一个常数$ a $,使$ x_1^2+x_1x_2+x_2^2-a $恒为正值,
即$ x_1^2+x_1x_2+x_2^2＞a $恒成立,所以$ a\leq3 $.
所以实数$ a $的取值范围是$ (0,3] $.

例108 求函数$ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x $在$ [1,+\infty) $上的最大值.

答案： 解:$ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} $,$ y=\sqrt{x^2+1} $和$ y=x $在$ [1,+\infty) $上都单调递增,所以$ y=\sqrt{x^2+1}+x $在$ [1,+\infty) $上单调递增,
所以$ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x $在$ [1,+\infty) $上单调递减,
所以当$ x=1 $时,函数$ f(x) $有最大值,最大值为$ f(1)=\sqrt{2}-1 $.

例109 函数$ f(x) $是定义在$ [1,4] $上的减函数,求满足不等式$ f(1-2a)-f(4-a^2)＞0 $的$ a $的集合.

答案： 解:因为$ f(1-2a)-f(4-a^2)＞0 $,所以$ f(1-2a)＞f(4-a^2) $.
又因为$ f(x) $是定义在$ [1,4] $上的减函数,
所以$ \begin{cases} 1\leq1-2a\leq4, \\ 1\leq4-a^2\leq4, \\ 1-2a＜4-a^2, \end{cases} $解得$ -1＜a\leq0 $.
所以满足题意的$ a $的集合为$ \{a|-1＜a\leq0\} $.