《2025年资源库高中数学人教版》

例66 (1)已知$a＞0,b＞0,c＞0$,求证:$\frac {bc}{a}+\frac {ac}{b}+\frac {ab}{c}\geq a + b + c$;
(2)已知$a＞0,b＞0,a + b=1$,求证:$\left(1+\frac {1}{a}\right)\left(1+\frac {1}{b}\right)\geq9$.

答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：
(1)因为$a＞0,b＞0,c＞0$，由基本不等式得$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}}=2c$，当且仅当$\frac{bc}{a}=\frac{ac}{b}$，即$a = b$时取等号；同理$\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq2b$，当且仅当$a = c$时取等号；$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq2a$，当且仅当$b = c$时取等号。三式相加得$2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\geq2(a + b + c)$，即$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a + b + c$（当且仅当$a = b = c$时取等号）。
(2)因为$a＞0,b＞0,a + b = 1$，所以$1+\frac{1}{a}=1+\frac{a + b}{a}=2+\frac{b}{a}$，同理$1+\frac{1}{b}=2+\frac{a}{b}$，则$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)=5 + 2\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\geq5 + 2×2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=9$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a = b=\frac{1}{2}$时取等号。

例67 已知函数$f(x)=x^{2}+2ax + 2,x\in[-5,5]$.
(1)当$a=-1$时,求函数$f(x)$的最大值和最小值;
(2)若$y = f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数,求实数a的取值范围.

答案： （1）最大值37，最小值1；（2）$\{a|a\leq - 5或a\geq5\}$
解析：
(1)当$a=-1$时，$f(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，$x\in[-5,5]$，函数对称轴为$x = 1$，则当$x = 1$时，$f(x)_{min}=1$；当$x=-5$时，$f(x)_{max}=(-5 - 1)^{2}+1=37$。
(2)$f(x)=(x + a)^{2}+2 - a^{2}$，对称轴为$x=-a$，因为$f(x)$在$[-5,5]$上单调，所以$-a\leq - 5$或$-a\geq5$，即$a\geq5$或$a\leq - 5$。

例68 求函数$f(x)=x^{2}-2ax - 1$在区间$[0,2]$上的最值.

答案： 当$a\leq0$时，最大值$3 - 4a$，最小值$-1$；当$0＜a\leq1$时，最大值$3 - 4a$，最小值$-a^{2}-1$；当$1＜a＜2$时，最大值$-1$，最小值$-a^{2}-1$；当$a\geq2$时，最大值$-1$，最小值$3 - 4a$
解析：函数$f(x)=(x - a)^{2}-a^{2}-1$，对称轴为$x = a$。
当$a\leq0$时，在$[0,2]$上单调递增，$f(x)_{min}=f(0)=-1$，$f(x)_{max}=f(2)=4 - 4a - 1=3 - 4a$；
当$0＜a\leq1$时，$f(x)_{min}=f(a)=-a^{2}-1$，$f(x)_{max}=f(2)=3 - 4a$；
当$1＜a＜2$时，$f(x)_{min}=f(a)=-a^{2}-1$，$f(x)_{max}=f(0)=-1$；
当$a\geq2$时，在$[0,2]$上单调递减，$f(x)_{min}=f(2)=3 - 4a$，$f(x)_{max}=f(0)=-1$。