《2025年资源库高中数学人教版》

例460（多选）[全国新课标Ⅰ2023·12]下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚忽略不计）内的有（ ）。
A. 直径为0.99 m的球
B. 所有棱长均为1.4 m的四面体
C. 底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D. 底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体

答案： ABD
解析：A. 球直径0.99 ＜ 1，可行；B. 正方体中最大正四面体棱长$\sqrt{2}\approx1.414＞1.4$，可行；C. 圆柱高1.8 ＞ 正方体体对角线$\sqrt{3}\approx1.732$，不可行；D. 圆柱直径1.2 ＜ 正方体面对角线$\sqrt{2}\approx1.414$，可行。

例461 [全国高考]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为______。

答案： 39π
解析：体积$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=30\pi$，$r=6$，解得$h=\frac{5}{2}$。母线$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2}$，侧面积$\pi rl=\pi×6×\frac{13}{2}=39\pi$。

例462 [全国新高考]北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度约为36000 km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）。把地球看成一个球心为O，半径为6400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数。地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面积$S = 2\pi r^2(1 - \cos\alpha)$（单位：km²），则S占地球表面积的百分比约为（ ）。
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%

答案： C
解析：$\cos\alpha=\frac{r}{r + 36000}=\frac{6400}{6400 + 36000}\approx0.15$，$S=2\pi r^2(1 - 0.15)=1.7\pi r^2$。地球表面积$4\pi r^2$，百分比$\frac{1.7}{4}=42.5\%\approx42\%$。

例463 [全国新课标Ⅰ2024·5]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为$\sqrt{3}$，则圆锥的体积为（ ）。
A. $2\sqrt{3}\pi$ B. $3\sqrt{3}\pi$ C. $6\sqrt{3}\pi$ D. $9\sqrt{3}\pi$

答案： B
解析：设半径$r$，圆柱侧面积$2\pi r\sqrt{3}$，圆锥母线$l=\sqrt{r^2 + 3}$，侧面积$\pi rl$。由$2\pi r\sqrt{3}=\pi r\sqrt{r^2 + 3}$，解得$r=3$。圆锥体积$\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi×9×\sqrt{3}=3\sqrt{3}\pi$。