《2025年资源库高中数学人教版》

例789 [全国高考]设数列$\{a_n\}$满足$a_1 + 3a_2+\cdots+(2n - 1)a_n=2n$。
(1)求$\{a_n\}$的通项公式；
(2)求数列$\left\{\frac{a_n}{2n + 1}\right\}$的前$n$项和。

答案：
(1)$a_n=\frac{2}{2n - 1}$
解析：当$n = 1$时，$a_1=2$。当$n\geq2$时，$a_1 + 3a_2+\cdots+(2n - 3)a_{n-1}=2(n - 1)$，与原式相减得$(2n - 1)a_n=2$，$a_n=\frac{2}{2n - 1}$，$n = 1$时也满足，所以$a_n=\frac{2}{2n - 1}$。
(2)$\frac{2n}{2n + 1}$
解析：$\frac{a_n}{2n + 1}=\frac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}$，前$n$项和$S_n=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}\right)=\frac{2n}{2n + 1}$。

例790 [全国甲（理）2023·17]记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_2=1$，$2S_n=na_n$。
(1)求$\{a_n\}$的通项公式；
(2)求数列$\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$的前$n$项和$T_n$。

答案：
(1)$a_n=n - 1$ (注：原解析中$a_n=n - 1$，但$a_2=1$时，$n = 2$，$a_2=1$，正确)
解析：当$n = 1$时，$2S_1=a_1$，$a_1=0$。当$n\geq2$时，$2S_{n-1}=(n - 1)a_{n-1}$，与$2S_n=na_n$相减得$2a_n=na_n-(n - 1)a_{n-1}$，$(n - 2)a_n=(n - 1)a_{n-1}$，$\frac{a_n}{n - 1}=\frac{a_{n-1}}{n - 2}$（$n\geq3$），所以$\frac{a_n}{n - 1}=\frac{a_2}{1}=1$，$a_n=n - 1$。
(2)$T_n=2-\frac{n + 2}{2^n}$
解析：$\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{n}{2^n}$，$T_n=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{4}+\cdots+n×\frac{1}{2^n}$，$\frac{1}{2}T_n=1×\frac{1}{4}+\cdots+(n - 1)×\frac{1}{2^n}+n×\frac{1}{2^{n+1}}$，两式相减得$\frac{1}{2}T_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}-n×\frac{1}{2^{n+1}}=1-\frac{n + 2}{2^{n+1}}$，$T_n=2-\frac{n + 2}{2^n}$。

例791 [全国新课标Ⅱ2023·18]已知$\{a_n\}$为等差数列，$b_n=\begin{cases}a_n - 6,n为奇数\\2a_n,n为偶数\end{cases}$。记$S_n$，$T_n$分别为数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$的前$n$项和，$S_4=32$，$T_3=16$。
(1)求$\{a_n\}$的通项公式；
(2)证明：当$n＞5$时，$T_n＞S_n$。

答案：
(1)$a_n=2n + 3$
解析：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，$S_4=4a_1 + 6d=32$，$T_3=b_1 + b_2 + b_3=(a_1 - 6)+2a_2+(a_3 - 6)=a_1 - 6 + 2(a_1 + d)+(a_1 + 2d)-6=4a_1 + 4d - 12=16$，联立解得$\begin{cases}a_1=5\\d = 2\end{cases}$，$a_n=5 + 2(n - 1)=2n + 3$。
(2)证明：$S_n=\frac{n(5 + 2n + 3)}{2}=n^2 + 4n$。当$n$为奇数时，$n = 2k + 1$，$T_n=(a_1 - 6)+2a_2+(a_3 - 6)+\cdots+(a_n - 6)=S_n - 6(k + 1)+2(a_2 + a_4+\cdots + a_{2k})-S_n$（奇数项部分），经计算得$T_n - S_n=\frac{n^2 - 3n - 10}{2}＞0$（$n＞5$）；当$n$为偶数时，$T_n - S_n=\frac{n^2 - n}{2}＞0$（$n＞5$），所以当$n＞5$时，$T_n＞S_n$。